Calcule as integrais indefinidas das seguintes funções abaixo. Lembrando que as letras A, B C e D, quando presentes representam números da sua matricula conforme instruções descritas no início da prova.

  1. f x = c o s x x
  2. f x = A + 1 t e B + 2 t  
  3. f x = A + 1 cos ⁡ x - B + 1   s e n   x s e n 3 x
  4. f x - ln ⁡ ( x + C )

Passo 1

Falaii pessoal, tudo bem?

Bora resolver esse juntinho comigo?

Já lendo as observações podemos avaliar as predefinições, com base no número da matricula.

Então vamos considerar os números a seguir como exemplo 14102023

Os 4 últimos dígitos definem A ,   B , C   e   D .

A = 2

B = 0

C = 2

D = 3

Como já definimos, vamos resolver elaaa....

Passo 2

Para calcular a integral indefinida da função f x = c o s x x , usando a definição de limite, você pode começar pela definição de integral definida:

∫ c o s x x d x = lim a → 0 + ⁡ ∫ a b c o s x x   d x

Vamos calcular a integral definida ∫ a b c o s x x   d x   , onde a > 0   e   b > 0 , e então aplicaremos o limite quando a se aproxima de 0 + .

Passo 3

Primeiro, note que a função c o s x x   não é definida em x = 0 ,   mas é definida e contínua em ( 0 , b ] para algum valor positivo b .

Portanto, podemos calcular a integral definida no intervalo ( 0 , b ] e, em seguida, tomar o limite quando a se aproxima de 0 +

∫ a b c o s x x   d x

Agora, vamos calcular essa integral definida:

∫ a b c o s x x   d x

Para calcular essa integral, você pode usar a regra de substituição:

Passo 4

Seja u = x então d u = 1 2 x d x .

Isso implica em 2 x   d u = d x .

Agora, substitua u   e   2 x   d u   na integral:

∫ a b c o s x x   d x = ∫ a b cos ⁡ u u ⋅ 2 x   d u

= 2 ∫ a b cos ⁡ u d u  

Agora ficou fácil!

Passo 5

Portanto, a resposta será:

2 sin ⁡ ( b ) - 2 sin ⁡ a

Agora, aplique o limite quando a se aproxima de 0 +

lim a → 0 + ⁡ 2 sin ⁡ b - 2 sin ⁡ a

= 2 sin ⁡ b - 2 sin ⁡ 0

= 2 sin ⁡ b

Resposta

Então, a integral indefinida de f x = cos ⁡ x x       é   2 sin ⁡ x + C , onde C é a constante de integração.

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