2) Calcule as integrais definidas abaixo:

c) ∫ - π π x 3 + x 2022 sin ⁡ x 3 d x

Passo 1

Bomm dia, boa tarde, boa noiteee pessoas lindas!! Se vocês estão perdidinhos nessa questão, caíram no lugar certo. É aqui que vamos resolver ela da maneira mais tranquila possível, igual esse patinho no balanço dele.

Uhuul, bora lá então!

Nesse exercício precisamos calcular a integral definida dada pelo enunciado. Ou seja, vamos executar a integração da função conforme as regras e métodos que já conhecemos e, no final, vamos aplicar o intervalo de integração que também foi informada pelo enunciado.

Legal, mas como fazemos isso? Como calculamos essa integral?

Apesar de parecer confusa, essa integral pode ser resolvida sem muito segredo. O que já podemos observar de cara é que os limites de integração são simétricos ( - π e π ). Toda vez que isso ocorrer é interessante que verifiquemos se a função é par ou ímpar.

Nossa, desde quando funções tem par ou ímpar? E por que isso é importante?

Quando uma função tem a condição de f - x = - f ( x ) para qualquer que seja o valor de x pertencente ao intervalo de integração, dizemos que ela é ímpar. E, se tratando de integrais, observamos a seguinte regra:

∫ - a a f x d x = 0

Ou seja, se integramos uma função ímpar com limite de integração simétrico, o resultado é igual a 0 .

Agora que relembramos tudo isso, vamos verificar se nossa função é par ou ímpar?

Passo 2

Como vimos no Passo 1, para que a função seja ímpar devemos encontrar f - x = - f ( x ) .

Legal, então vamos começar por f ( - x ) :

= - x 3 + - x 2022 sin ⁡ - x 3

Como um valor negativo ao cubo continua negativo:

= - x 3 + - x 2022 sin ⁡ - x 3

Como um valor negativo elevado a um expoente par é positivo:

= - x 3 + x 2022 sin ⁡ - x 3

Aplicando propriedades de radicais, temos que - x 3 = - x 3

= - x 3 + x 2022 sin ⁡ - x 3

Aplicando propriedades de trigonometria, temos que sin ⁡ - x = - sin ⁡ x

= - x 3 - x 2022 sin ⁡ x 3

Passo 3

Agora vamos calcular - f ( x ) . Para isso, calcularemos f ( x ) e depois encontraremos o oposto.

f x = x 3 + x 2022 sin ⁡ x 3

E seu oposto - f ( x ) :

- f x = - x 3 - x 2022 sin ⁡ ( x 3 )

Perceba que - f x = f ( - x ) e como o nosso intervalo de integração é simétrico, podemos dizer que:

∫ - π π x 3 + x 2022 sin ⁡ x 3 d x = 0

Opa, opaaa! Temos aqui um aluno topíssimo que conseguiu vencer mais uma questãooo!

Bora aproveitar esse embalo e resolver mais? Hehehehe

Resposta

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