Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral do produto ou quociente de potenciais de funções trigonométricas.

∫ tan 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x

Passo 1

Aqui podemos ter a malandragem de trocar essas funções trigonométricas por seno e cosseno

∫ tan 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ sen 5 ⁡ x cos 5 ⁡ x 1 cos 3 ⁡ x d x = ∫ sen 5 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Agora como temos cosseno embaixo e seno em cima podemos fazer uma substituição simples, antes vamos deixar isso separado para fazer a substituição

∫ sen 5 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ sen 4 ⁡ x cos 2 ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ 1 - cos 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x sen ⁡ x d x

Passo 2

Primeiro fazemos

u = cos ⁡ x

Achamos sua diferencial

d u = - sen ⁡ x d x

Agora tentamos deixar o mais perto que temos na integral

- d u = sen ⁡ x d x

A integral vai ficar

∫ 1 - cos 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x sen ⁡ x d x = - ∫ 1 - u 2 2 u 2 d u

Passo 3

Vamos resolver essa integral agora

- ∫ 1 - u 2 2 u 2 d u

Primeiro vamos fazer um algebrismo nela

- ∫ 1 - u 2 2 u 2 d u = - ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 u 2 d u = - ∫ u - 2 - 2 + u 2 d u

Que é polinomial, de boa p resolver

- ∫ u - 2 - 2 + u 2 d u = - - u - 1 - 2 u + u 3 3 + C = u - 1 + 2 u - u 3 3 + C

Não esquece da constante hein!!

Passo 4

Agora precisamos “desubstituir”

u - 1 + 2 u - u 3 3 + C = cos ⁡ x - 1 + 2 cos ⁡ x - cos ⁡ x 3 3 + C

Resposta

cos ⁡ x - 1 + 2 cos ⁡ x - cos ⁡ x 3 3 + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
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Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x