Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

∫ cos 3 ⁡ x d x

Passo 1

Para encontrar o valor dessa integral aí, vou te dar um bizu, heim: toda vez que você se deparar com integrais de seno ou cosseno elevado a coeficientes impares, separa um cosseno do resto, dessa forma aqui:

cos 3 ⁡ x = cos ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x

Qual é a vantagem de fazer isso?

Se você se lembrar, a gente tem pela equação fundamental da trigonometria que cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1 . Isolando e substituindo nessa equação de cima...

cos 3 ⁡ x = cos ⁡ x ( 1 - sin 2 ⁡ x )

cos 3 ⁡ x = cos ⁡ x - cos ⁡ x sin 2 ⁡ x

Como a integral da soma é a soma das integrais, teremos

∫ cos 3 ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x - cos ⁡ x sin 2 ⁡ x d x

∫ cos 3 ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x d x - ∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x d x

Logo, basta a gente encontrar a solução dessas outras duas integrais mais simples que a gente mata o problema, percebeu?

Passo 2

Vamos então resolver a integral do cosseno. Essa integral se resolve direto, bastando lembrar quem é o cara que se derivar, dá o cosseno

( sin ⁡ x ) ' = cos ⁡ x

Logo

∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + c

Passo 3

Para resolver essa outra integral aqui ∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x d x , como acabamos de ver o cosseno é a derivada do seno, se fizermos uma substituição do tipo:

u = sin ⁡ x

Teremos

d u = cos ⁡ x d x

Logo, substituindo esses caras, a gente ganha

∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x d x = ∫ u 2 d u

Que é uma integral direta ;)

∫ u 2 d u = u 3 3 + k

Voltando para a variável original:

∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x d x = ( sin ⁡ x ) 3 3 + k  

Passo 4

Somando as duas integrais a gente retorna com a solução do nosso problema :

∫ cos 3 ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x d x - ∫ cos ⁡ x sin 2 ⁡ x d x

∫ cos 3 ⁡ x d x = sin ⁡ x + c - ( sin ⁡ x ) 3 3 - k  

Lembrando que k e c são duas constantes de integração, fazendo ( c - k ) também é uma única constante de integração que vamos dar o mesmo nome: c .

∫ cos 3 ⁡ x d x = sin ⁡ x + ( sin ⁡ x ) 3 3 + c  

Resposta

∫ cos 3 ⁡ x d x = sin ⁡ x + ( sin ⁡ x ) 3 3 + c  

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x