Calcule as integrais abaixo.

i )   ∫ c o t g 5 x   d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ c o t g 5 x   d x

Mas você já sabe que sem manipular esse integrando, não vai rolar integrar nada! Eu vou te sugerir uma coisa: sempre que tiver cotangente com expoente ímpar substitui pelo equivalente a senos e cossenos e usa a identidade trigonométrica

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Assim você vai poder colocar alguém como u (seja seno ou cosseno) e o d u vai estar ali também!

Então a ideia aqui é transformar essa cotangente em senos e cossenos, usar a identidade trigonométrica e integrar pelo método da substituição

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte:

∫ c o t g 5 x   d x

Então vamos primeiro manipular esse integrando. Sabendo que c o t g x = cos ⁡ x s e n x ,

c o t g 5 x d x = cos 5 ⁡ x s e n 5 x d x = cos 2 ⁡ x . cos 2 ⁡ x . cos ⁡ x d x s e n 5 x

E usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

c o t g 5 x d x = ( 1 - s e n 2 x ) . ( 1 - s e n 2 x ) . cos ⁡ x d x s e n 5 x = 1 - 2 s e n 2 x + s e n 4 x cos ⁡ x d x s e n 5 x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos usar a substituição

u = s e n x

Pois temos

d u = cos ⁡ x d x

No numerador

1 - 2 s e n 2 x + s e n 4 x cos ⁡ x d x s e n 5 x = 1 - 2 u 2 + u 4 d u u 5

u 5 , fazer as simplificações e #partiu integrar!

∫ c o t g 5 x   d x = ∫ 1 u 5 d u - 2 ∫ u 2 u 5 d u + ∫ u 4 u 5 d u

= - 1 4 u 4 - 2 - 2 u 2 + ln ⁡ u

E agora voltando para x , lembrando que u = s e n x :

∫ c o t g 5 x   d x = - 1 4 s e n 4 x + 1 s e n 2 x + ln ⁡ s e n   x

E por fim, temos que 1 s e n x = c o s s e c x , temos nosso resultado final:

∫ c o t g 5 x   d x = - 1 4 c o s s e c 4 x + c o s s e c 2 x + ln ⁡ s e n   x + C

Não esquece daquele +C no final!

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ c o t g 5 x   d x = - 1 4 c o s s e c 4 x + c o s s e c 2 x + ln ⁡ s e n   x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )d x
Calcule a integral. ∫ s e n 6 π xd x