Resolva as integrais indefinidas abaixo:

a )   ∫ s e n 3 x cos 2 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

Segura minha mão e vem comigo!

Começando pela letra (a):

  1. ∫ s e n 3 x cos 2 ⁡ ( x ) d x

Quando a gente enxerga uma integral com potências de senos e cossenos, precisamos lembrar logo da relação fundamental da trigonometria! Você lembra?

Relembrar é viver! Então tá aqui:

s e n 2 ( x ) + cos 2 ⁡ ( x ) = 1

Podemos isolar se n 2 ⁡ ( x )   na esquerda e temos o seguinte:

s e n 2 ( x ) = 1 - cos 2 ⁡ ( x )

A ideia aqui é substituir o máximo de funções que a gente puder (ou o seno, ou o cosseno), sempre deixando um do outro, para podermos usar a técnica da substituição. Assim vamos ter u (por exemplo o seno) e o d u (o cosseno daí) juntinhos.

Sacou?

Então vou abrir aquele s e n 3 ( x ) em uma multiplicação de s e n 2 x . s e n ( x ) :

∫ s e n 3 x cos 2 ⁡ ( x ) d x

∫ s e n 2 x . s e n ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) d x

E agora substituir o s e n 2 ( x ) pela relação fundamental:

∫ 1 - cos 2 ⁡ x . s e n ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) d x

Passo 2

Agora vamos reorganizar esses termos todos. O cos 2 ⁡ ( x )   que tá pertinho do d x vamos multiplicar pelos termos dentro dos colchetes, e o s e n ( x ) vai ficar coladinho com o d x , pois esse vai ser nosso d u num futuro não tão distante...

∫ cos 2 ⁡ x - cos 4 ⁡ x s e n x d x

Pronto! Agora podemos fazer a integração por substituição!

Passo 3

Mas qual substituição? Bom, pra saber isso você deve lembrar que queremos escolher uma função auxiliar u tal que no integrando tenhamos também a sua derivada d u .

Vamos resgatar como ficou nossa integral depois de todas as transformações que fizemos:

∫ cos 2 ⁡ x - cos 4 ⁡ x s e n x d x

Se escolhermos como função auxiliar u = c o s ⁡ ( x ) , então a derivada de u em relação a x é d u d x = - s e n ⁡ ( x ) , e isolando d u temos que:

d u = - s e n ⁡ x d x ∴ - d u = s e n ( x ) d x

Agora vamos substituir u = c o s ⁡ ( x ) e s e n x d x = - d u no integrando:

∫ [ u 4 - u 2 ] d u

Uma dica para você verificar se fez tudo certinho até aqui é verificar se sobrou alguma coisa com x , se sobrou, sua substituição está com algum probleminha. Nesse ponto precisamos ter a integral toda em função de u , belezinha?

Aqui é uma integração de potência com dois expoentes 2 e 4 , então essa integral vai ficar assim:

∫ u 4 - u 2 d u = u 5 5 - u 3 3 + C

Para finalizar precisamos voltar para a expressão em x que tínhamos, então lembrando que u = c o s ⁡ ( x ) temos o resultado final bonitinho em função de x :

∫ s e n 3 x cos 2 ⁡ ( x ) d x = cos 5 ⁡ x 5 - cos 3 ⁡ x 3 + C

Tudo certo até aqui? Vamos pra próxima?

Bora lá galera!

Resposta

  1. cos 5 ⁡ x 5 - cos 3 ⁡ x 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
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Calcular a área da região limitada por y = tg^3 x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral.int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x
Calcule a integral.int s e n^6 (pi x) d x