Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

Ver Teoria

Enunciado

Sabendo-se que m e n são números inteiros positivos, mostre que

∫ - 1 1 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = 0 ,     m ≠ n 1 ,     m = n

Passo 1

Bom, esse é um daqueles casos clássicos de Integral Trigonométrica. Tenho que buscar uma forma de, através de relações trigonométricas, simplificar a cara dessa integral aí. Tem uma que me vem à cabeça que trabalha justamente isso, um produto entre cossenos, olha:

cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y = 1 2 cos ⁡ x + y + cos ⁡ x - y

Parece que complicou, mas quando a gente transforma um produto em uma soma, a gente facilita a nossa integral.

Então nossa função fica desse jeito:

cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) = 1 2 { cos ⁡ π x n + m + cos ⁡ π x n - m }

Agora vamos analisar m ≠ n e m = n .

Passo 2

Vamos começar com m = n e substituir na fórmula,

cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( n π x ) = 1 2 { cos ⁡ π x n + n + cos ⁡ π x n - n }

cos 2 ⁡ ( n π x ) = 1 2 { cos ⁡ π x 2 n + cos ⁡ 0 }

cos 2 ⁡ ( n π x ) = 1 2 { cos ⁡ π x 2 n + 1 }

Pronto, agora temos vamos integrar

∫ - 1 1 cos 2 ⁡ n π x d x = ∫ - 1 1 1 + cos ⁡ 2 n π x 2 d x = x 2 + sen ⁡ 2 n π x 4 n π [ 1 - 1

= 1 2 + sen ⁡ 2 n π 4 n π - - 1 2 + sen ⁡ - 2 n π 4 n π = 1 2 + 1 2 + sen ⁡ 2 n π 4 n π - sen ⁡ - 2 n π 4 n π

= 1

Pronto! Provado que a integral vale 1 para m = n .

Passo 3

Agora vamos para m ≠ n . A nossa integral fica assim,

∫ - 1 1 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = ∫ - 1 1 1 2 { cos ⁡ π x n + m + cos ⁡ π x n - m } d x

Aplicando as propriedades de integral podemos escrever assim,

∫ - 1 1 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = 1 2 ∫ - 1 1 { cos ⁡ π x n + m d x + ∫ - 1 1 cos ⁡ π x n - m d x

= 1 2 s e n π x n + m n + m π + s e n π x n - m n - m π - 1 1

Galera, lembra que m e n são números inteiros? Então o que teremos dentro do seno sempre será um k π , onde k é qualquer número inteiro e quando isso acontece, temos:

s e n 0 = 0

s e n π = 0

s e n 2 π = 0

s e n k π = 0

Ou seja, o nosso seno vai sempre zerar.

Então teremos,

∫ - 1 1 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = 1 2 0 - 0 = 0

Pronto! Agora provamos que a integral vale 0 para m ≠ n .

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x