1. Calcule as integrais abaixo:

∫ e x 3 x 2 3 d x

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora comigo matar essa questão e garantir aquela aprovação de milhões???

Bom, vamos primeiro entender o enunciado da questão. Ele está querendo que a gente resolva essa integral esquisita aí, e pra isso, a ideia básica é olhar com calma a função que estamos precisando integrar e tentar descobrir o melhor método para fazer isso.

Então aqui vai uma dica muito importante: vamos testar se ao derivarmos uma parte da função, encontramos como resultado algo próximo a outra parte da função. Caso isso aconteça, significa que o melhor método para resolver essa integral é usando a substituição simples.

Show, vamos testar isso aqui e ver se rola, beleza?!

Passo 2

A integral que precisamos resolver é essa aqui:

∫ e x 3 x 2 3 d x

Você concorda que esse e x 3 é um pouco chatinho de integrar, mas e u seria mais fácil?

Então vamos chamar

  u = x 3

Para facilitar a derivação, podemos transformar essa raiz em um expoente fracionário. Veja:

u = x 1 3  

Maravilha, agora vamos derivar e ver o que dá.

Pra fazer essa derivada, usamos a regra do expoente que cai pra frente multiplicando e perde uma unidade. Assim:

d u = 1 3 x 1 3 - 1 d x

Que resolvendo se torna:

d u = 1 3 x - 2 3 d x

Aqui, como nosso expoente é negativo, podemos inverter a potência para torna-lo positivo ficado com:

d u = 1 3 x 2 3   d x

E por fim, podemos voltar para a forma de raiz essa potencia que tem expoente fracionário.

d u = 1 3 x 2 3   d x

Opa!!! Agora vamos ver o que a gente conseguiu até aqui, pra ver se a gente consegue substituir.

Passo 3

Estamos querendo integrar

∫ e x 3 x 2 3 d x

E para isso chamamos

u = x 3

E

d u = 1 3 x 2 3   d x

Agora, basta fazer a substituição na integral.

Repare que em nossa integral precisaremos fazer:

3 d u = 1 x 2 3   d x

E ela se tornará:

3 ∫ e u d u

Agora ficou bem fácil, porque a integral de e u é o próprio e u , então teremos:

3 ∫ e u d u = 3 e u + c

Show de bola. Integral resolvida, mas não se esqueça que nossa integral original estava em x e não em u , por isso nós não podemos esquecer de voltar para a variável x na resposta.

Lembrando que:

u = x 3

Assim, ficaremos com:

∫ e x 3 x 2 3 d x = 3 x x 3 + c  

E prontinho. Essa fechou, partiu próxima?!

Resposta

∫ e x 3 x 2 3 d x = 3 x x 3 + c  

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