Calcule as integrais indefinidas das seguintes funções abaixo. Lembrando que as letras A, B C e D, quando presentes representam números da sua matricula conforme instruções descritas no início da prova.

  1. f x = c o s x x
  2. f x = A + 1 t e B + 2 t  
  3. f x = A + 1 cos ⁡ x - B + 1   s e n   x s e n 3 x
  4. f x = ln ⁡ ( x + C )

Passo 1

Falaii pessoal, tudo bem?

Bora resolver esse juntinho comigo?

Já lendo as observações podemos avaliar as predefinições, com base no número da matricula.

Então vamos considerar os números a seguir como exemplo 14102023

Os 4 últimos dígitos definem A ,   B , C   e   D .

A = 2

B = 0

C = 2

D = 3

Olhando e organizando os valores na função dada, temos:

f x = ln ⁡ ( x + C )

f x = ln ⁡ ( x + 2 )

Como já definimos, vamos resolver elaaa....

Passo 2

A integral indefinida de   ln ⁡ ( x + 2 ) é calculada da seguinte forma:

Vamos fazer uma substituição de u = x + 2 , então d u = d x :

∫ ln ⁡ ( x + 2 ) d u = ∫ ln ⁡ ( u ) d u

A integral de ln ⁡ ( u ) já é conhecida, mas se você quiser deduzir, pode usar a integração por partes:

∫ ln ⁡ ( u ) d u = u ln ⁡ ( u ) - ∫ u 1 u   d u

∫ ln ⁡ ( u ) d u = u ln ⁡ ( u ) - u + K

Onde u é uma função dentro do logaritmo.

No caso, u = x + 2

Substituímos u   de volta em nossa fórmula:

∫ ln ⁡ x + 2 d x = x + 2 ln ⁡ ( x + 2 ) - x - 2 + K

∫ ln ⁡ x + 2 d x = x + 2 ln ⁡ ( x + 2 ) - x + C

Onde C   é a constante de integração, que pode ser qualquer número real.

Resposta

Portanto, a resposta correta é:

ln ⁡ ( x + 2 ) ⋅ x + 2 - x + C

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