Calcule as integrais das funções abaixo:

a )   ∫ s e n ( 2 x ) ( s e n x - 1 ) ( s e n x - 3 ) d x  

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão fala de integral de uma função! Precisamos resolver essa integral indefinida aqui

∫ s e n ( 2 x ) ( s e n x - 1 ) ( s e n x - 3 ) d x

e agora, como resolver isso? Por onde começar? Nossa pergunta de milhões...

Temos como integrando uma razão de polinômios com senos, mas não tem nenhum cosseno para usarmos a técnica de substituição (lembrando que cosseno é a derivada do seno). Mas será mesmo que não tem um cossenozinho escondido?

A ideia aqui é usar alguma identidade trigonométrica que nos ajude a trocar algum seno do integrando pelo equivalente que tenha cosseno! E assim, vamos conseguir usar a técnica de substituição e com bastante sorte vamos ter uma integral mais fácil para resolver!

Belezinha até aqui?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte

∫ s e n ( 2 x ) ( s e n x - 1 ) ( s e n x - 3 ) d x

Antes de mais nada, vamos analisar o integrando com mais carinho

s e n 2 x s e n x - 1 s e n x - 3

Note que temos senos com argumentos diferentes, e em especial tem o s e n ( 2 x ) , e aí que está nosso pulo do gato!

Vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que envolve o seno do arco duplo: s e n ( 2 x )

s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x

E agora substituir no nosso integrando

2 s e n x cos ⁡ x s e n x - 1 s e n x - 3

Agora sim! Temos seno e cosseno! Podemos usar a técnica da substituição para integrar!

u = s e n x

d u = cos ⁡ x   d x

Assim nossa integral fica

2 ∫ u   d u u - 1 u - 3

Ficou melhor?

Embora não pareça, ficou sim! Agora temos que resolver uma integral com uma razão de polinômios, em que o grau do denominador é maior do que o numerador: FRAÇÕES PARCIAIS!

Sim! Isso mesmo! Vamos decompor esse integrando em frações parciais para poder integrar com mais facilidade!

Tranquilo? Vamos lá?

Passo 3

Bora transformar nosso integrando em frações parciais:

2 u   d u u - 1 u - 3

Temos que nosso denominador já está separado em monômios, todos com grau um, então nossa separação vai ficar assim

2 u ( u - 1 ) ( u - 3 ) = A u - 1 + B u - 3 = A u - 3 + B ( u - 1 ) ( u - 1 ) ( u - 3 )

Organizando os termos com o mesmo grau temos

2 u ( u - 1 ) ( u - 3 ) = u A + B + ( - 3 A - B ) ( u - 1 ) ( u - 3 )

Beleza?

Um polinômio só é igual ao outro quando os coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais, então temos duas equações com as constantes A e B que precisam ser satisfeitas:

A + B = 2 - 3 A - B = 0

Da segunda equação temos o seguinte

B = - 3 A

E substituindo na primeira temos

A + - 3 A = 2 → - 2 A = 2 → A = - 1

E retornando à segunda equação conseguimos achar B :

B = - 3 A = - - 3 = 3

Assim nosso integrando em frações parciais fica assim:

2 u   d u u - 1 u - 3 = - 1 u - 1 + 3 u - 3 d u

Belezinha? Vamos integrar?

Passo 4

Precisamos resolver agora essa integral aqui:

∫ - 1 u - 1 + 3 u - 3 d u = - ∫ 1 u - 1 d u + 3 ∫ 1 u - 3 d u

Bem mais tranquilo né? As duas são integrais do logaritmo, ambas deslocadas, e integrando temos

- ln ⁡ u - 1 + 3 ln ⁡ ( u - 3 )

Terminamos? NÃO!

Nossa integral original é em x ! Então precisamos retornar para a variável x e somar a constante de integração, afinal nossa integral é indefinida!

Sabendo que

u = s e n   x

Daí nosso resultado fica

- ln ⁡ s e n   x - 1 + 3 ln ⁡ s e n   x - 3 + C

Ufa, terminamos galera! Vamos para a próxima?

Resposta

- ln ⁡ s e n   x - 1 + 3 ln ⁡ s e n   x - 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
Calcule a integral int_0^((pi)/(4)) sec (theta) tan (theta) d theta
Calcular a área da região limitada por y = tg^3 x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral.int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x
Calcule a integral.int s e n^6 (pi x) d x