Determine α e β de modo que:

sin ⁡ 6 x cos ⁡ 4 x = 1 2 sin ⁡ α x + sin ⁡ β x .

Dica: use que:

sin ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) = 1 2 sin ⁡ ( a + b ) + sin ⁡ ( a - b )

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Para esta questão aqui é interessante dar uma olhada nas seguintes relações trigonométricas:

sin ⁡ ( A ± B ) = sin ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) ± sin ⁡ ( B ) cos ⁡ ( A )         ( 1 )

cos ⁡ ( A ± B ) = cos ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) ∓ sin ⁡ A sin ⁡ B           ( 2 )

Com a equação (1) e (2) você deve chegar na dica que o enunciado nos dá! Belezinha?

Passo 2

Para nós, usar a dica é o suficiente! Ele deu essa dica para usar certo? Primeiro, vamos comparar o que o enunciado pede, com a relação da dica! De cara podemos identificar que:

a = 6 x     e   b = 4 x

Tem alguma ideia do que fazer com isso agora?

Saca só!

Passo 3

No passo anterior nós comparamos o lado esquerdo das duas equações no enunciado, agora vamos usar isso para comparar o lado direito! Belezinha? Temos que:

1 2 sin ⁡ ( a + b ) + sin ⁡ ( a - b ) = 1 2 sin ⁡ α x + sin ⁡ β x

Como temos que a = 6 x e b = 4 x , temos que:

1 2 sin ⁡ ( 10 x ) + sin ⁡ ( 2 x ) = 1 2 sin ⁡ α x + sin ⁡ β x           ( 3 )

Isso vai nos dar um sisteminha de equações para α e β . Consegue identificar? Bora lá!

Passo 4

Se compararmos os dois lados da equação (3), precisamos que α x = 10 x e β x = 2 x , portanto, temos que:

α = 10     e   β = 2

A questão era isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!!

Resposta

α = 10     e   β = 2

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