Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais.

∫ s e n 4 x cos 3 ⁡ x d x

Passo 1

Cara, temos um produto de seno e cosseno e os dois tem expoentes maiores que 1. A dica é ver se algum deles tem expoente ímpar. A gente vê que o cosseno está com expoente ímpar.

E aí o que a gente faz? A ideia é pegar o termo que tá ímpar e separar um carinha em produto. Assim:

cos 3 ⁡ x = cos 2 ⁡ x cos ⁡ x

Então a gente tem

∫ s e n 4 x cos 3 ⁡ x d x

∫ s e n 4 x cos 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 2

Aí a gente usa a identidade trigonométrica fundamental (é bom gravar ela, tá?):

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 ∴ cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

E substitui isso ali na integral:

∫ s e n 4 x cos 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

∫ s e n 4 x 1 - s e n 2 x cos ⁡ x d x

Passo 3

E para que a gente deu essa volta toda você pode se perguntar. Cara, repara que agora na nossa integral a gente tem uma expressão estranha em função de seno e um cosseno bonitinho ali sozinho em produto com isso tudo.

De frente a esse cenário, o que a gente faz? Uma substituição simples! Vamos chamar a função que está na expressão estranha de u , no nosso caso, fica:

u = s e n   x

d u d x = cos ⁡ x ∴ d u = cos ⁡ x d x

Substituindo essas coisinhas na nossa integral e usando a regrinha de integrar polinômios:

∫ s e n 4 x 1 - s e n 2 x cos ⁡ x d x

∫ u 4 1 - u 2 d u = ∫ u 4 - u 6 d u =

= u 4 + 1 4 + 1 - u 6 + 1 6 + 1 = u 5 5 - u 7 7

E aí a gente volta para x , lembrando que u = s e n x :

= s e n 5 x 5 - s e n 7 x 7 + C

Não esquecendo ali da constante, já que temos uma integral indefinida!

Resposta

s e n 5 x 5 - s e n 7 x 7 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x