Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ t sec 2 ⁡ t 2 tg 4 ⁡ ( t 2 ) d t

Passo 1

Repara comigo que o termo t 2 aparece muitas vezes e a sua derivada é 2 t   d t , que aparece parecido. Logo, é bom fazer uma substituição.

Note, também, que aparece a expressão tg m ⁡ ( x ) sec n ⁡ ( x ) d x , com n par. Isso nos faz pensar em usar a integração trigonométrica.

Logo, iremos, primeiro, usar a substituição e, depois, a integração trigonométrica. Siga-me.

Passo 2

∫ t sec 2 ⁡ t 2 tg 4 ⁡ ( t 2 ) d t

u = t 2 → d u = 2 t   d t → t   d t = 1 2 d u

Substituindo:

∫ 1 2 sec 2 ⁡ ( u ) tg 4 ⁡ ( u )   d u

Passo 3

Usando a integração trigonométrica:

v = tg ⁡ u → d v = sec 2 ⁡ ( u ) d u

Aplicando:

∫ 1 2 v 4 d v = 1 2 ⋅ 1 5 v 5 + C =

= 1 10 tg 5 ⁡ ( u ) + C =

= 1 10 tg 5 ⁡ ( t 2 ) + C

Resposta

∫ t sec 2 ⁡ t 2 tg 4 ⁡ ( t 2 ) d t = 1 10 tg 5 ⁡ ( t 2 ) + C

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