Calcule

∫ s i n ( l n ( t ) ) d t

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez uma questão mais direta. Queremos calcular

∫ s i n ( l n ( t ) ) d t

Mas que integral feia, né? E aí, como vamos começar?

Bora fazer uma substituição esperta, né? vamos fazer

u   =   l n ( t )   ⇒   d u = 1 t d t

então

t = e u e e u d u = d t

Então nossa integral fica

∫ s i n ( u ) e u d u

Passo 2

Agora vamos resolver a integral

∫ s i n ( u ) e u d u

Bem antes de sairmos fazendo as contas, vamos tentar chutar o valor dessa integral

Como vamos fazer isso, bem sabemos que e u está na nossa integral, então faz sentido estar na solução tbm. Além disso temos um seno na integral, talvez podemos usar uma composição de senos e cossenos

Vamos ver se e u ( s i n ( u )   -   c o s ( u ) ) é solução para nossa integral, derivando temos

d d u e u ( s i n ( u )   -   c o s ( u ) ) = e u ( s i n ( u )   -   c o s ( u ) ) + e u ( c o s ( u )   + s i n ( u ) )

= e u ( 2 s i n ( u ) )

Caramba chegamos em algo bem próximo, então temos que

∫ s i n ( u ) e u d u = 1 2 e u ( s i n ( u )   -   c o s ( u ) )

quando temos essas integrais de exponenciais e senos, compensa tentar chutar a solução!!! Fica a dica

Passo 3

Chegamos a conclusão que

∫ s i n ( u ) e u d u = 1 2 e u ( s i n ( u )   -   c o s ( u ) )

Como fizemos u   =   u   =   l n ( t ) retornando para a variável x a nossa integral fica

1 2 t ( s i n ( l n ( t ) )   -   c o s ( l n ( t ) ) )

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

1 2 t ( s i n ( l n ( t ) )   -   c o s ( l n ( t ) ) )

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