Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais.

∫ s e n 3 x cos 5 ⁡ x d x

Passo 1

Cara, temos um produto de seno e cosseno e os dois tem expoentes maiores que 1. A dica é ver se algum deles tem expoente ímpar. A gente tá com sorte, porque os dois estão, né haha.

E aí o que a gente faz? A ideia é pegar o termo que tá ímpar e separar um carinha em produto. Por exemplo, para seno a gente pode fazer

s e n 3 x = s e n 2 x   s e n x

E para cosseno a gente poderia fazer:

cos 5 ⁡ x = cos 4 ⁡ x cos ⁡ x

Maaas, a gente só precisa fazer UMA dessas transformações na nossa integral, tá? Só mostrei as duas para cê ver que tem dois caminhos aí para resolver essa bonita. Vou usar o segundo caminho que a gente fez. Então a gente tem

∫ s e n 3 x cos 5 ⁡ x d x

∫ s e n 3 x cos 4 ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 2

O que a gente faz agora é reescrever o termo que ficou elevado a um expoente par fazendo aparecer um termo elevado ao quadrado. Nosso termo com expoente par é:

cos 4 ⁡ x

E a gente pode escrever ele assim:

cos 4 ⁡ x = cos 2 ⁡ x 2

Aí a gente usa a identidade trigonométrica fundamental (é bom gravar ela, tá?):

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 ∴ cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

E substitui isso ali no nosso termo e depois na integral:

cos 4 ⁡ x = cos 2 ⁡ x 2 = 1 - s e n 2 x 2

∫ s e n 3 x 1 - s e n 2 x 2 cos ⁡ x d x

Passo 3

E para que a gente deu essa volta toda você pode se perguntar. Cara, repara que agora na nossa integral a gente tem uma expressão estranha em função de seno e um cosseno bonitinho ali sozinho em produto com isso tudo.

De frente a esse cenário, o que a gente faz? Uma substituição simples! Vamos chamar a função que está na expressão estranha de u , no nosso caso, fica:

u = s e n   x

d u d x = cos ⁡ x ∴ d u = cos ⁡ x d x

Substituindo essas coisinhas na nossa integral e usando a regrinha de integrar polinômios:

∫ s e n 3 x 1 - s e n 2 x 2 cos ⁡ x d x

∫ u 3 1 - u 2 2 ( d u ) = ∫ u 3 1 - u 2 2 d u = ∫ u 3 1 - 2 u 2 + u 4 d u

= ∫ u 3 - 2 u 5 + u 7 d u = u 3 + 1 3 + 1 - 2 u 5 + 1 5 + 1 + u 7 + 1 7 + 1 = u 4 4 - 2 6 u 6 + u 8 8

E aí a gente volta para x , lembrando que u = s e n x :

= s e n 4 x 4 - s e n 6 x 3 + s e n 8 x 8 + C

Não esquecendo ali da constante, já que temos uma integral indefinida!

Resposta

s e n 4 x 4 - s e n 6 x 3 + s e n 8 x 8 + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x