Calcule as integrais abaixo.

d )   ∫ 0 π cos 4 ⁡ 2 x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ 0 π cos 4 ⁡ 2 x d x

E quando você vir um integrando que não tem função-derivada da função dentro dele (que é nosso caso) você testa o método de integração por partes! Como vimos lá na lista de integração por partes, você está autorizado a usar truques sujos! Isso mesmo: truquinhos que vão te ajudar a separar esse integrando em uma parte para integrar e outra para derivar, sempre usando nosso LIATE:

u , mas também d v ! Ué, mas como assim?

Lembrando que no método por partes precisamos integrar uma parte do integrando, e sabemos a integral de cos ⁡ x !

Usando o método de integração por partes, com

u   = cos 3 ⁡ 2 x

d v = cos ⁡ 2 x d x

Poderemos integrar essa coisa!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Relembrar é viver, então vamos ao método de por partes:

 

u ,   d v e os valores de d u ,   v são:

Agora vamos aplicar na fórmula do método por partes:

∫ cos 4 ⁡ 2 x d x = 1 2 cos 3 ⁡ 2 x s e n 2 x + 3 ∫ cos 2 ⁡ 2 x s e n 2 ( 2 x ) d x

Vamos guardar esse resultado!

Tudo bem até aqui? Nossa missão agora é calcular aquela integral que surgiu na direita! Vamos lá?

Passo 3

A integral que surgiu na direita é:

∫ cos 2 ⁡ 2 x s e n 2 2 x d x

Agora anota aí um ponto bem importante em trigonométricas, primeiro algumas identidades:

E já vamos usar a primeira!

s e n 2 2 x = 1 - cos 2 ⁡ ( 2 x )

E substituir na integração:

∫ cos 2 ⁡ 2 x s e n 2 2 x d x = ∫ ( 1 - cos 2 ⁡ ( 2 x ) ) cos 2 ⁡ 2 x d x = ∫ cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x - ∫ cos 4 ⁡ ( 2 x ) d x

Vamos devolver esse resultado no passo 2?

Passo 4

Resgatando o resultado do passo 2:

∫ cos 4 ⁡ 2 x d x = 1 2 cos 3 ⁡ 2 x s e n 2 x + 3 ∫ cos 2 ⁡ 2 x s e n 2 ( 2 x ) d x

E substituindo a integral do lado direito:

= 1 2 cos 3 ⁡ 2 x s e n 2 x + 3 ∫ cos 2 ⁡ 2 x d x - ∫ cos 4 ⁡ 2 x d x

Parece que ficou maior, mas te garanto que ficou melhor! Vamos retirar as integrais dos colchetes:

∫ cos 4 ⁡ 2 x d x ⏝ = 1 2 cos 3 ⁡ 2 x s e n 2 x - 3 ∫ cos 4 ⁡ 2 x d x ⏝ - 3 ∫ cos 2 ⁡ 2 x d x

Olha só o que temos! Achamos a mesma integral que estamos calculando do lado esquerdo! Então podemos juntar elas:

4 ∫ cos 4 ⁡ 2 x d x = 1 2 cos 3 ⁡ 2 x s e n 2 x - 3 ∫ cos 2 ⁡ 2 x d x

E isolar:

∫ cos 4 ⁡ 2 x d x = 1 8 cos 3 ⁡ 2 x s e n 2 x - 3 4 ∫ cos 2 ⁡ 2 x d x

Calma, estamos quase lá!

Guarda mais esse resultado? Obri! =)

Passo 5

Nossa missão agora é resolver essa última integral da direita! E aqui vou colar mais um quadrinho com identidades trigonométricas bem importantes:

Precisamos resolver essa integral aqui:

∫ cos 2 ⁡ 2 x d x

Então vamos usar a terceira identidade, aí nosso integrando fica mais simples e podemos usar substituição simples para resolver, saca só:

∫ cos 2 ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ 2 + cos ⁡ 4 x d x = ∫ d x + 1 2 ∫ cos ⁡ ( 4 x ) d x

Agora #partiu integrar?

∫ cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x = x + 1 8 s e n ( 4 x )

Beleza? Vamos juntar os resultados?

Passo 6

Juntando os resultados do passo 4 com 5 temos:

∫ cos 4 ⁡ 2 x d x = 1 8 cos 3 ⁡ 2 x s e n 2 x - 3 4 ∫ cos 2 ⁡ 2 x d x

Também:

∫ cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x = x + 1 8 s e n ( 4 x )

Aí:

∫ cos 4 ⁡ 2 x d x = 1 8 cos 3 ⁡ 2 x s e n 2 x - 3 4 x + 1 8 s e n 4 x

Beleza? Mas ainda não acabamos! Essa integral é DEFINIDA, então precisamos aplicar esses resultados nos limites de integração!

Passo 7

Nossos limites eram:

∫ 0 π cos 4 ⁡ 2 x d x

Agora é só aplicar!

∫ 0 π cos 4 ⁡ 2 x d x = 1 8 cos 3 ⁡ 2 x s e n 2 x - 3 4 x + 1 8 s e n 4 x   0 π

= 1 8 cos 3 ⁡ 2 π s e n 2 π   - 3 4 π + 1 8 s e n 4 π - 0 = - 3 π 4

Agora sim terminamos! E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

- 3 π 4

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