1. Calcule as integrais abaixo:

∫ c o s c o s   3 x   5 x - 2 d x

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora comigo matar mais essa questão???

Bom, vamos primeiro entender o enunciado da questão. Ele está querendo que a gente resolva a integral dessa função aí. Repare que a função é na verdade uma multiplicação entre duas funções, a função c o s c o s   ( 3 x )   e a função ( 5 x - 2 ) .

Então, antes de resolver a integral nós vamos desenvolver a multiplicação entre as funções e ver o que teremos. Depois faremos a integração de cada parte encontrada.

Vem comigo ver como fica.

Passo 2

Temos a integral

∫ c o s c o s   3 x   5 x - 2 d x

E podemos fazer a multiplicação distributiva das funções que estão no integrando, ficando com:

∫ 5 x c o s c o s   3 x   - 2 c o s c o s   3 x   d x

E para resolver essa integral podemos aplicar a regra da soma, que diz

∫ f ( x ) ± g ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x

Então, colocando as constantes fora da integral teremos duas integrais pra resolver

5 ∫ x c o s c o s   ( 3 x )   d x - 2 ∫ c o s c o s   3 x   d x

Vamos nos concentrar em cada uma delas de modo separado.

Passo 3

Vamos começar pela segunda integração, pois ela é um pouco mais fácil e também porque o resultado dela vai ajudar a gente a resolver a outra, ok?!

2 ∫ c o s c o s   3 x   d x

A integral de c o s c o s   x   é tabelada e é igual a x   , mas aqui não temos exatamente c o s c o s   x   e sim c o s c o s   ( 3 x )   , então vamos usar uma substituição simples para resolvê-la.

Vamos chamar

u = 3 x

E derivando ficamos com:

d u = 3 d x

Assim, nossa integral se transforma em:

2 ∫ c o s c o s   3 x   d x = 2 ∫ c o s c o s   u   d u 3

Colocando 1 3 fora da integral teremos:

2 3 ∫ c o s c o s   u   d u

E resolvendo, ficamos com:

2 3 ∫ c o s c o s   u   d u = 2 3 u  

Mas não podemos esquecer que nossa função está em x e não em u , e por isso onde tive u vamos escrever 3 x

Assim:

2 ∫ c o s c o s   3 x   d x = 2 3 ( 3 x )  

Maravilha, essa integral está resolvida, vamos guardá-la e olhar para a outra integral agora.

Passo 4

Vamos resolver agora a integral

5 ∫ x c o s c o s   3 x   d x

Repara que temos algo um pouco mais complicadinho, pois a função que vamos integrar é um produto entre duas funções, a função x e a função c o s c o s   ( 3 x )   . Nesse caso, não podemos usar a integração por substituição simples, pois quando derivarmos uma parte da função, não encontramos a outra. Isso acontece porque as duas funções são de tipos diferente, temos x que é uma função algébrica e temos o c o s c o s   3 x   que é uma função trigonométrica.

Bom, em casos como esse vamos usar a integração por partes.

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Agora, basta escolhermos quem na nossa função será o u e quem será o d v . E para fazer essa escolha devemos pensar o seguinte: chamaremos de u a parte da função que facilitará a nossa vida ao ser derivada. Por exemplo, se chamarmos c o s c o s   ( 3 x )   de u isso não irá nos ajudar, pois sua derivada é mais complicada do que ele mesmo. Então chamaremos

u = x

E

d v = c o s c o s   ( 3 x )  

Repare que na fórmula da integral também precisaremos de v e de d u . Para achar d u basta derivar u e para achar v teremos que integrar d v . Então, se:

u = x

Então:

d u = d x

E se:

d v = c o s c o s   3 x   d x  

Então:

v = ∫ c o s c o s   3 x   d x  

E essa integral a gente fez agorinha a pouco no passo 3, então pode pegar o resultado e encaixar aqui

v = 1 3 ( 3 x )  

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes e teremos:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x c o s c o s   3 x d x   = x 3 x   3 - 1 3 ∫ 3 x   d x

Repare que ainda temos a última integral ali para resolver, mas ela a gente tira de letra porque já fizemos parecido antes. Vamos separar ela aqui pra resolver e depois a gente encaixa tudo aqui. Não se perca não. Ok?

Passo 5

Então olhando só pra ela agora, vamos usar uma substituição simples, fazendo:

∫ 3 x   d x

u = 3 x

E

d u = 3 d x

1 3 ∫ u   d u = - 1 3 c o s c o s   3 x  

Show!

Passo 6

Agora a gente volta lá e encaixa tudo. Assim:

∫ x c o s c o s   3 x d x   = x 3 x   3 - 1 3 ∫ 3 x   d x

∫ x c o s c o s   3 x d x   = x 3 x   3 + 1 9 c o s c o s   ( 3 x )  

Não esqueça que havia um 5, na frente dessa integral. Assim podemos escrever:

5 ∫ x c o s c o s   3 x d x   = 5 9 3 x ( 3 x )   + c o s c o s   3 x  

Show, agora que temos as duas integrais resolvidas, podemos juntá-las para formar nossa resposta e acrescentando nossa constante de integração, já que essa integral é indefinida. Ficando com:

5 ∫ x c o s c o s   3 x   d x - 2 ∫ c o s c o s   3 x   d x

5 9 3 x ( 3 x )   + c o s c o s   3 x   - 2 3 3 x   + c

E depois de tudo isso, finalizamos mais essa questão. 😊

Resposta

∫ c o s c o s   3 x   5 x - 2 d x = 5 9 3 x ( 3 x )   + c o s c o s   3 x   - 2 3 3 x   + c

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