Calcule as seguintes integrais

a) ∫ c o s ³ ( x ) d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos resolver integrais trigonométricas indefinidas.

∫ c o s ³ ( x ) d x

Essa é clássica, vamo fazer o seguinte, tendo em mente a relação trigonométrica fundamental s e n 2 x + c o s 2 x = 1 a gente pode desenrolar:

∫ c o s 3 x d x = ∫ c o s x ( 1 - s e n ² ( x ) ) d x

Agora vem a parte da canalhice hehe, isso vai servir sempre que tivermos uma integral de seno ou cosseno elevados a um número ímpar:

u = sen ⁡ x

d u = c o s ( x ) d x

d u c o s x = d x

Então...

∫ c o s x ( 1 - s e n ² ( x ) ) d x = ∫ c o s x ( 1 - u ² ) d u c o s x

= ∫ ( 1 - u ² ) d u = u - u 3 3 + C

Lembremos que u = s e n ( x ) , logo a nossa resposta é:

s e n x - s e n 3 x 3 + C

Passo 2

Gente, nossa questão foi finalizada, mas vamos entender como faríamos caso nosso seno ou cosseno estivesse elevado a um número par:

Pela soma de cossenos, temos:

cos ⁡ 2 x = c o s 2 x - s e n ² ( x )

cos ⁡ 2 x = c o s 2 x - ( 1 - c o s ² ( x ) )

cos ⁡ 2 x = 2 c o s 2 x - 1

c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Podemos também observar:

cos ⁡ 2 x = c o s 2 x - s e n ² ( x )

cos ⁡ 2 x = ( 1 - s e n 2 x ) - s e n ² ( x ) )

cos ⁡ 2 x = 1 - 2 s e n ² ( x )

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Sabendo disso, apresentemos uma integral genérica:

∫ s e n 2 n ( x ) d x = ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 n d x

Depois disso, só nos resta desenvolver o binômio e integrar, talvez seja necessário repetir alguns passos de manipulação trigonométrica, mas vai dar certo, galera! vamos ver alguns exemplos assim futuramente, juntos.

Até logo 😊

Resposta

  1. ∫ c o s ³ ( x ) d x = s e n x - s e n 3 x 3 + C

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