Usando a técnica do exercício anterior calcule:

d) ∫ sin ⁡ ( m x ) cos ⁡ ( n x ) d x

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Que enunciado seco neh? Mas vamo que vamo! Primeira coisa, o que é a “técnica” do exercício anterior?

A técnica é utilizar a seguinte relação:

sin ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) = 1 2 sin ⁡ ( a + b ) + sin ⁡ ( a - b )           ( 1 )

Consegue adivinhar o que fazer agora? Bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos identificar comparando a equação (1) com o integrando no enunciado, ou seja:

a = m x       e       b = n x

Portanto, podemos escrever a nossa integral como:

∫ 1 2 sin ⁡ m + n x + sin ⁡ m - n x d x

Agora, para resolver isso, vamos lembrar algumas coisinhas! Beleza?

Passo 3

Nós temos que:

∫ sin ⁡ ( a x ) d x = - 1 a cos ⁡ a x + C           ( 2 )

Não vamos esquecer da constante de integração, beleza? Também vale a pena lembrar que:

∫ [ a f x + b g ( x ) ] d x = a ∫ f ( x ) d x + b ∫ g ( x ) d x           ( 3 )

Bora usar isso para resolver a integral!

Passo 4

Se usarmos a equação (3), temos:

∫ 1 2 sin ⁡ m + n x + sin ⁡ m - n x d x = 1 2 ∫ sin ⁡ m + n x d x + 1 2 ∫ sin ⁡ m - n x d x

→ = 1 2 - 1 m + n cos ⁡ m + n x + C 1 + 1 2 - 1 m - n cos ⁡ m - n x + C 2

Aplicando a equação (2), temos que:

1 2 - 1 m + n cos ⁡ m + n x + C 1 + 1 2 - 1 m - n cos ⁡ m - n x + C 2 = →

→ = 1 2 - 1 m + n cos ⁡ m + n x + C 1 + 1 2 - 1 m - n cos ⁡ m - n x + C 2

Que coisa feia que ficou neh?

Vamos reescrever um pouquinho! Bora lá!

Passo 5

Temos:

1 2 - 1 m + n cos ⁡ m + n x + C 1 + 1 2 - 1 m - n cos ⁡ m - n x + C 2 = →

→ = - 1 2 m + n cos ⁡ m + n x + 1 2 n - m cos ⁡ m - n x + C 3

Aqui eu só juntei todas as constantes em uma só como C 3 = 1 2 C 1 + 1 2 C 2 . A questão foi isso! Tchauzinho!!

Resposta

∫ sin ⁡ ( m x ) cos ⁡ ( n x ) d x = - 1 2 m + n cos ⁡ m + n x + 1 2 n - m cos ⁡ m - n x + C 3

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