Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ cos 3 ⁡ 2 x + π 6 d x

Passo 1

Inicialmente escolhendo u = 2 x + π 6 , sabemos que: d u = 2 d x   →       d x = d u 2 . E então, reescrevemos a expressão como:

∫ cos 3 ⁡ u d u 2 = 1 2 ∫ cos 3 ⁡ u d u

Passo 2

Só que cos 3 ⁡ u ainda não é uma integral imediata, ou seja, ainda temos que manipular! Lembrando da relação fundamental: sen 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 , podemos reescrever a integral assim:

1 2 ∫ cos 2 ⁡ u cos ⁡ u d u = 1 2 ∫ 1 - sen 2 ⁡ u cos ⁡ u d u

1 2 ∫ cos 2 ⁡ u cos ⁡ u d u = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u - 1 2 ∫ sen 2 ⁡ u cos ⁡ u d u

Passo 3

Agora temos que resolver:

1 2 ∫ cos ⁡ u d u - 1 2 ∫ sen 2 ⁡ u cos ⁡ u d u

Pra segunda integral, podemos fazer a substituição t = sen ⁡ u   →       d t = cos ⁡ u d u . E reescrevendo o que temos que integrar:

1 2 ∫ cos ⁡ u d u - 1 2 ∫ sen 2 ⁡ u cos ⁡ u d u = 1 2 sen ⁡ u - 1 2 ∫ t 2 d t = 1 2 sen ⁡ u - t 3 6

E voltando pra variável x , vamos ter:

∫ cos 3 ⁡ 2 x + π 6 d x = 1 2 sen ⁡ 2 x + π 6 - 1 3 sen 3 ⁡ 2 x + π 6 + C

Resposta

∫ cos 3 ⁡ 2 x + π 6 d x = 1 2 sen ⁡ 2 x + π 6 - 1 3 sen 3 ⁡ 2 x + π 6 + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
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