Calcule as integrais abaixo.

b )   ∫ cos 3 ⁡ 3 x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ cos 3 ⁡ 3 x d x

Mas calma! Como vimos lá na lista de integração por substituição, você está autorizado a usar truques sujos! Isso mesmo: truquinhos que vão te ajudar a separar esse integrando e identificar uma substituição que seja favorável para você!

Como temos uma potência ÍMPAR de uma trigonométrica do tipo seno/cosseno podemos fazer a substituição u ,   d u , pois um pode ser escrito como a derivada do outro!

Então a ideia aqui é a seguinte: usar a relação fundamental da trigonometria para ter seno/cosseno nesse integrando e usar o método da substituição simples para resolver!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é:

∫ cos 3 ⁡ 3 x d x

Podemos separar o integrando da seguinte forma:

cos 3 ⁡ 3 x = cos 2 ⁡ 3 x . cos ⁡ 3 x

E usar a relação fundamental

cos 2 ⁡ 3 x + s e n 2 3 x = 1 → cos 2 ⁡ 3 x = 1 - s e n 2 3 x

Aí nosso integrando fica:

cos 3 ⁡ 3 x = ( 1 - s e n 2 3 x ) cos ⁡ 3 x

Agora vamos substituir dentro da integral:

∫ cos 3 ⁡ 3 x d x = ∫ ( 1 - s e n 2 3 x ) cos ⁡ 3 x d x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral indefinida:

∫ 1 - s e n 2 3 x cos ⁡ 3 x d x

u = s e n   3 x e assim d u = 3 cos ⁡ 3 x d x . Nossa integral fica assim:

∫ 1 3 ( 1 - u 2 ) d u

Ficamos com uma integração de potência! Vamos integrar?

E integrar:

∫ 1 3 ( 1 - u 2 ) d u = 1 3 u - 1 9 u 3

E agora vamos voltar para x , lembrando que u = s e n 3 x :

∫ 1 - s e n 2 3 x cos ⁡ 3 x d x = 1 3 s e n 3 x - 1 9 s e n 3 x 3 + C

E é isso! Não esquece de colocar aquele + C no final ta? A integrar aqui é indefinida!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

1 3 s e n 3 x - 1 9 s e n 3 x 3 + C

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