Usando a técnica do exercício anterior calcule:

c) ∫ 0 π / 3 sin ⁡ ( 3 x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x  

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Que enunciado seco neh? Mas vamo que vamo! Primeira coisa, o que é a “técnica” do exercício anterior?

A técnica é utilizar a seguinte relação:

sin ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) = 1 2 sin ⁡ ( a + b ) + sin ⁡ ( a - b )           ( 1 )

Consegue adivinhar o que fazer agora? Bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos identificar comparando a equação (1) com o integrando no enunciado, ou seja:

a = 3 x       e       b = 2 x

Portanto, podemos escrever a nossa integral como:

∫ 0 π 3 1 2 ( sin ⁡ 5 x + sin ⁡ ( x ) ) d x

Agora, para resolver isso, vamos lembrar algumas coisinhas! Beleza?

Passo 3

Nós temos que:

∫ b c sin ⁡ ( x ) d x = - 1 a cos ⁡ a x ​ b c = - 1 a cos ⁡ a c - ( - 1 a cos ⁡ ( a b ) )           ( 2 )

Já que agora temos limites de integração! Também vale a pena lembrar que:

∫ [ a f x + b g ( x ) ] d x = a ∫ f ( x ) d x + b ∫ g ( x ) d x           ( 3 )

Bora usar isso para resolver a integral!

Passo 4

Se usarmos a equação (3), temos:

∫ 0 π 3 1 2 ( sin ⁡ 5 x + sin ⁡ ( x ) ) d x = 1 2 ∫ 0 π 3 sin ⁡ 5 x d x + 1 2 ∫ 0 π 3 sin ⁡ ( x ) d x

Aplicando a equação (2), temos que:

1 2 ∫ 0 π 3 sin ⁡ 5 x d x + 1 2 ∫ 0 π 3 sin ⁡ x d x = 1 2 × - 1 5 cos ⁡ 5 x ​ 0 π 3 + 1 2 × - cos ⁡ x ​ 0 π 3 = →

→ - 1 10 cos ⁡ 5 π 3 - cos ⁡ 0 - 1 2 ( cos ⁡ π 3 - cos ⁡ ( 0 ) )

Lembrando que cos ⁡ ( 0 ) = 1 , também que cos ⁡ ( π / 3 ) = 1 / 2 e que cos ⁡ 5 π 3 = 1 / 2 . Temos que:

- 1 10 cos ⁡ 5 π 3 - cos ⁡ 0 - 1 2 cos ⁡ π 3 - cos ⁡ 0 = - 1 10 1 2 - 1 - 1 2 1 2 - 1 = 1 20 + 1 4 = →

→ = 1 + 5 20 = 6 20 = 3 10

A terceira alternativa é isso! Vamos para a próxima!

Resposta

∫ 0 π / 3 sin ⁡ ( 3 x ) cos ⁡ ( 2 x ) d x = 3 10

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