Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule:

∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos 3 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos 3 ⁡ ( x ) d x

Nesse caso, temos m = 2   e   n = 3 , vamos agora separar um dos cossenos dessa potência:

∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos 3 ⁡ x d x = ∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ cos ⁡ ( x ) d x

Passo 2

Agora vamos fazer:

cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

E vamos ter:

∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos 3 ⁡ x d x = ∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ 1 - sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos ⁡ ( x ) d x

Passo 3

Agora podemos usar aquela substituição de variáveis marota ali de cima, u = sen ⁡ x :

∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos 3 ⁡ x d x = ∫ u 2 ⋅ 1 - u 2 d u

Agora sim! Já fizemos esse tipo de integral antes:

∫ u 2 ⋅ 1 - u 2 d u = u 3 3 - u 5 5 + C

Passo 4

Substituindo de volta, resolvemos o problema:

∫ sen 2 ⁡ x ⋅ cos 3 ⁡ x d x = sen 3 ⁡ x 3 - sen 5 ⁡ x 5 + C  

Resposta

∫ sen 2 ⁡ x ⋅ cos 3 ⁡ x d x = sen 3 ⁡ x 3 - sen 5 ⁡ x 5 + C  

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
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Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x