Calcule as integrais abaixo.

j )   ∫ sec 3 ⁡ x   d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ sec 3 ⁡ x   d x

E quando você vir um integrando que não tem função-derivada da função dentro dele (que é nosso caso) você testa o método de integração por partes! Como vimos lá na lista de integração por partes, você está autorizado a usar truques sujos! Isso mesmo: truquinhos que vão te ajudar a separar esse integrando em uma parte para integrar e outra para derivar, sempre usando nosso LIATE:

u , mas também d v ! Ué, mas como assim?

Lembrando que no método por partes precisamos integrar uma parte do integrando, e sabemos a integral de sec 2 ⁡ x !

Usando o método de integração por partes, com

u   = sec ⁡ x

d v = sec 2 ⁡ x d x

Poderemos integrar essa coisa!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Relembrar é viver, então vamos ao método de por partes:

 

Aí como comentei no passo anterior, nossa escolha para u ,   d v e os valores de d u ,   v são:

agora vamos aplicar na fórmula do método:

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g   x - ∫ t g 2   x sec ⁡ x d x

Vamos guardar esse resultado!

Tudo bem até aqui? Nossa missão agora é calcular aquela integral que surgiu na direita! Vamos lá?

Passo 3

A integral que surgiu na direita é:

∫ t g 2   x sec ⁡ x d x

Agora anota aí um ponto bem importante em trigonométricas: quando o integrando tiver tangente e secante, optar sempre por transformar tudo em secante! Tudo que for possível!

Então aqui vamos usar a identidade trigonométrica que envolve a tangente e a secante:

t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x

E substituir na integração:

∫ t g 2   x sec ⁡ x d x = ∫ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) sec ⁡ x d x = ∫ sec 3 ⁡ x d x - ∫ sec ⁡ x d x

Vamos devolver esse resultado no passo 2?

Passo 4

Resgatando o resultado do passo 2:

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g   x - ∫ t g 2   x sec ⁡ x d x

E substituindo a integral do lado direito:

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g   x - ∫ sec 3 ⁡ x d x - ∫ sec ⁡ x d x

Parece que ficou maior, mas te garanto que ficou melhor! Vamos retirar as integrais dos colchetes:

∫ sec 3 ⁡ x d x ⏝ = sec ⁡ x t g   x - ∫ sec 3 ⁡ x d x ⏝ + ∫ sec ⁡ x d x

Olha só o que temos! Achamos a mesma integral que estamos calculando do lado esquerdo! Então podemos juntar elas:

2 ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g   x + ∫ sec ⁡ x d x

E resolver a integral da secante do lado direito (ela é tabelada! Uhul!):

2 ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g   x + ln ⁡ | sec ⁡ x + t g   x |

Agora é só isolar a integral da secante ao cubo:

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x t g   x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x + C

Não esquece de acrescentar o + C no final! Estamos calculando uma integral indefinida!

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x t g   x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x + C

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