Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais.

∫ cos 5 ⁡ ( e x ) sen 4 ⁡ ( e x ) e x d x

Passo 1

Repara que temos um produto de seno com cosseno com potências. Só que não está exatamente isso, tem aquele e x ali no mesmo. Então vamos usar substituição primeiro

e x = y

Derivando

e x d x = d y

Nossa integral vai ficar

∫ cos 5 ⁡ ( y ) sen 4 ⁡ ( y ) d y

Agora podemos usar a integração trigonométrica.

Passo 2

Repara que esse é o caso que o expoente de cos ⁡ y é ímpar. Então vamos separar um cos ⁡ y na integral e fazer igual fizemos na teoria

Dando uma arrumada na integral

∫ cos 4 ⁡ ( y ) sen 4 ⁡ ( y ) cos ⁡ y d y

Fazendo o mesmo raciocínio que vimos na teoria, fazemos

cos 2 ⁡ y = 1 - sen 2 ⁡ y

A Integral fica

∫ 1 - sen 2 ⁡ y 2 sen 4 ⁡ ( y ) cos ⁡ y d y

Usando a integração trigonométrica:

v = sen ⁡ y → d v = cos ⁡ y d y

Aplicando:

∫ 1 - sen 2 ⁡ y 2 sen 4 ⁡ y cos ⁡ y d y = ∫ 1 - v 2 2 v 4 d v

Passo 3

Precisamos resolver

∫ 1 - v 2 2 v 4 d v

Abrindo essa conta

∫ 1 - v 2 2 v 4 d v = ∫ v 4 - 2 v 6 + v 8 d v

Então

∫ v 4 - 2 v 6 + v 8 d v = v 5 5 - 2 v 7 7 + v 9 9 + C

Passo 4

Voltando para y

v = sen ⁡ y

v 5 5 - 2 v 7 7 + v 9 9 + C = sen 5 ⁡ y 5 - 2 sen 7 ⁡ y 7 + sen 9 ⁡ y 9 + C

Calma que ainda não acabou, precisamos voltar para x agora

y = e x

sen 5 ⁡ e x 5 - 2 sen 7 ⁡ e x 7 + sen 9 ⁡ e x 9 + C

Resposta

sen 5 ⁡ e x 5 - 2 sen 7 ⁡ e x 7 + sen 9 ⁡ e x 9 + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x