Calcule as integrais abaixo.

f )   ∫ 0 π / 4 cos 5 ⁡ x s e n x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ 0 π / 4 cos 5 ⁡ x s e n x d x

Mas calma! Como vimos lá na lista de integração por substituição, você está autorizado a usar truques sujos! Isso mesmo: truquinhos que vão te ajudar a separar esse integrando e identificar uma substituição que seja favorável para você!

Como temos uma potência ÍMPAR de uma trigonométrica do tipo seno/cosseno podemos fazer a substituição u ,   d u , pois um pode ser escrito como a derivada do outro!

Então a ideia aqui é a seguinte: usar o método da substituição simples para resolver!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é:

∫ 0 π / 4 cos 5 ⁡ x s e n x d x

Vamos resolver primeiro a indefinida, para depois aplicar os limites:

∫ cos 5 ⁡ x s e n   x   d x

Podemos chamar u = cos ⁡ x e assim d u = - s e n   x d x . Nossa integral fica assim:

∫ cos 5 ⁡ x s e n   x   d x = - ∫ u 5 d u

Ficamos com uma integração de potência!

Vamos integrar?

∫ cos 5 ⁡ x s e n   x   d x = - ∫ u 5 d u = - u 6 6

E agora vamos voltar para x , lembrando que u = cos ⁡ x :

∫ cos 5 ⁡ x s e n   x   d x = - cos ⁡ x 6 6

Beleza? Estamos quase lá!

Passo 3

Agora nossa missão é aplicar os limites de integração! Resgatando lá do passo 1 nossa integral definida:

∫ 0 π / 4 cos 5 ⁡ x s e n x d x

Agora é só substituir o resultado que encontramos no passo 2 e aplicar os limites:

∫ 0 π / 4 cos 5 ⁡ x s e n x d x = - cos ⁡ x 6 6 0 π / 4

Aí temos:

= - cos 6 ⁡ π 4 - cos 6 ⁡ 0 = - 2 2 6 - 1 = - 1 8 - 1

E simplificando teremos o resultado final:

∫ 0 π / 4 cos 5 ⁡ x s e n x d x = 7 8

Agora sim! Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ 0 π / 4 cos 5 ⁡ x s e n x d x = 7 8

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