Calcule as integrais abaixo.

c )   ∫ s e n 2 x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ s e n 2 x d x

Mas calma! Como vimos lá na lista de integração por substituição, você está autorizado a usar truques sujos! Isso mesmo: truquinhos que vão te ajudar a separar esse integrando e identificar uma substituição que seja favorável para você!

Como temos uma IDENTIDADE TRIGONOMÉTRICA que transforma esse integrando em um muito mais fácil, é essa identidade que vamos usar!

Então a ideia aqui é a seguinte: usar uma identidade trigonométrica nesse integrando e usar o método da substituição simples para resolver!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é:

∫ s e n 2 x d x

s e n 2 x :

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

É isso mesmo! Podemos usar as identidades trigonométricas ao nosso favor! Já anota aí! E já anota a do cosseno também:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Beleza?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral indefinida:

∫ s e n 2 x d x = ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x = 1 2 ∫ d x - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x

u = 2 x e assim d u = 2 d x . Nossa integral fica assim:

∫ s e n 2 x d x = ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x = 1 2 ∫ d x - 1 4 ∫ cos ⁡ u d x

Ficamos com uma integração trigonométrica simples! Vamos integrar?

= x 2 - 1 4 s e n u

E agora vamos voltar para x , lembrando que u = 2 x :

∫ s e n 2 x d x = x 2 - 1 4 s e n 2 x + C

E é isso! Não esquece de colocar aquele + C no final ta? A integrar aqui é indefinida!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

x 2 - 1 4 s e n 2 x + C

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