Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

James Stewart Vol. I – 6ª ed. Exercício 49 da seção 7.2

Calcule a integral:

t sec 2 t 2 tg 4 ( t 2 ) d t

Passo 1

Repara comigo que o termo t 2 aparece muitas vezes e a sua derivada é 2 t   d t , que aparece parecido. Logo, é bom fazer uma substituição.

Note, também, que aparece a expressão tg m ( x ) sec n ( x ) d x , com n par. Isso nos faz pensar em usar a integração trigonométrica.

Logo, iremos, primeiro, usar a substituição e, depois, a integração trigonométrica. Siga-me.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

t sec 2 t 2 tg 4 ( t 2 ) d t

u = t 2 d u = 2 t   d t t   d t = 1 2 d u

Substituindo:

1 2 sec 2 ( u ) tg 4 ( u )   d u

Passo 3

Usando a integração trigonométrica:

v = tg u d v = sec 2 ( u ) d u

Aplicando:

1 2 v 4 d v = 1 2 1 5 v 5 + C =

= 1 10 tg 5 ( u ) + C =

= 1 10 tg 5 ( t 2 ) + C

Resposta

t sec 2 t 2 tg 4 ( t 2 ) d t = 1 10 tg 5 ( t 2 ) + C

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