Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

James Stewart Vol. I – 6ª ed. Exercício 38 da seção 5.4

Calcule a integral.

0 π 3 sen θ + sen θ tg 2 θ sec 2 θ d θ

Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número!

Para isso, vamos usar o teorema da variação total:

a b F ' ( θ ) d θ = F b - F ( a )

Portanto, primeiro vamos calcular a integral indefinida F . Depois, basta substituir θ por π / 3 e 0 e fazer o cálculo.

F = sen θ + sen θ tg 2 θ sec 2 θ d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para o cálculo de uma integral indefinida é legal manipularmos o integrando para encontrarmos integrais indefinidas conhecidas - aquelas que apresentamos na teoria e que é bom você decorar : )

Salta aos olhos que o integrando é composto de funções trigonométricas. Logo, temos que manipular o integrando para obtermos integrais trigonométricas conhecidas. São elas:

sen x d x = - cos x + C

cos x d x = sen x + C

sec 2 x d x = tg x + C

cossec 2 x   d x = - cotg x + C

sec x tg x d x = sec x + C

cossec x cotg x d x = - cossec x + C

Também é legal manipularmos o integrando para acabarmos com o denominador. Repare que nenhuma das integrais conhecidas de funções trigonométricas possui denominador!

Passo 3

sen θ + sen θ tg 2 θ sec 2 θ d θ = sen θ 1 + tg 2 θ sec 2 θ d θ

Como 1 + tg 2 θ = sec 2 θ :

= sen θ . sec 2 θ sec 2 θ d θ =

= sen θ d θ = - cos θ + C

Então:

F θ = - cos θ

F π 3 = - cos π 3 = - 1 2

F 0 = - cos 0 = - 1

Portanto:

0 π 3 sen θ + s e n θ tg 2 θ sec 2 θ d θ = - 1 2 - - 1 = 1 2

Dica:

É importante conhecermos as principais identidades trigonométricas para simplificarmos os integrandos de funções trigonométricas.

Nesse caso, foi preciso conhecer a seguinte identidade:

sec 2 x = 1 + tg 2 x

Outra identidade do mesmo tipo é:

cossec 2 x = 1 + cotg 2 x

Resposta

0 π 3 sen θ + sen θ tg 2 θ sec 2 θ d θ = 1 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas