Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

UFF - Cálculo IIA – GMA – 2008.2- Lista 5 - 25

Calcule a integral definida

0 π 4 d x 1 + 3 sec 2 x

Passo 1

Essa integral está tensa, eu mesmo tentei resolver ela assim e não saia de jeito nenhum. Vai que eu me pergunto porque não fazer o simples, vamos trocar sec x por 1 cos x . Vamos resolver a integral como indefinida e depois nos preocupamos com os limites de integração beleza?

d x 1 + 3 sec 2 x = d x 1 + 3 cos 2 x = d x cos 2 x cos 2 x + 3 cos 2 x = 1 cos 2 x + 3 cos 2 x d x

= 1 cos 2 x + 3 cos 2 x d x = cos 2 x cos 2 x + 3 d x = cos x cos 2 x + 3 d x

Porque coloquei assim? Bem se fizermos

cos 2 x = 1 - sen 2 x

Vamos ter uma integral com substituição simples de boa de fazer

cos x cos 2 x + 3 d x = cos x 1 - sen 2 x + 3 d x = cos x 4 - sen 2 x d x

Repara que temos seno e a derivada do seno que é cosseno, então vamos aplicar o passo a passo da substituição simples

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Chamar a função que identificamos de u

u = sen x

Achar a sua diferencial

d u = cos x d x

Deixar a diferencial igual ao que temos na integral. Neste caso já está igual

Substituir na integral

d u 4 - u 2

Essa integral vamos resolver por outra substituição. Ela lembra muito a derivada de arco seno, lembra qual é?

d x 1 - x 2

Passo 3

Vamos fazer

u = 2 y

Porquê dessa forma vamos ter 1 - y 2 dentro da raiz.

Agora vamos achar sua diferencial

d u = 2 d y

Agora vamos deixar essa diferencial igual ao que temos na integral, neste caso já está igual.

Agora vamos substituir

d u 4 - u 2 = 2 d y 4 1 - y 2 = d y 1 - y 2

Agora nos resolvemos a integral

d y 1 - y 2 = arcsen y + C

Vamos des-substituir agora

arcsen y + C = arcsen u 2 + C

E precisamos des-substituir de novo para o valor de x

arcsen u 2 + C = arcsen sen x 2 + C

Passo 4

Mas a nossa integral é definida, então precisamos fazer

arcsen sen x 2 x = 0 π 4 = arcsen sen π 4 2 - arcsen sen 0 2 =

arcsen 2 2 2 - arcsen 0 2 = arcsen 2 4 - 0 = arcsen 2 4

Resposta

arcsen 2 4

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