Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

Elaboração Própria

Calcule as seguintes integrais.

cos 5 ( e x ) sen 4 ( e x ) e x d x

Passo 1

Repara que temos um produto de seno com cosseno com potências. Só que não está exatamente isso, tem aquele e x ali no mesmo. Então vamos usar substituição primeiro

e x = y

Derivando

e x d x = d y

Nossa integral vai ficar

cos 5 ( y ) sen 4 ( y ) d y

Agora podemos usar a integração trigonométrica.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Repara que esse é o caso que o expoente de cos y é ímpar. Então vamos separar um cos y na integral e fazer igual fizemos na teoria

Dando uma arrumada na integral

cos 4 ( y ) sen 4 ( y ) cos y d y

Fazendo o mesmo raciocínio que vimos na teoria, fazemos

cos 2 y = 1 - sen 2 y

A Integral fica

1 - sen 2 y 2 sen 4 ( y ) cos y d y

Usando a integração trigonométrica:

v = sen y d v = cos y d y

Aplicando:

1 - sen 2 y 2 sen 4 y cos y d y = 1 - v 2 2 v 4 d v

Passo 3

Precisamos resolver

1 - v 2 2 v 4 d v

Abrindo essa conta

1 - v 2 2 v 4 d v = v 4 - 2 v 6 + v 8 d v

Então

v 4 - 2 v 6 + v 8 d v = v 5 5 - 2 v 7 7 + v 9 9 + C

Passo 4

Voltando para y

v = sen y

v 5 5 - 2 v 7 7 + v 9 9 + C = sen 5 y 5 - 2 sen 7 y 7 + sen 9 y 9 + C

Calma que ainda não acabou, precisamos voltar para x agora

y = e x

sen 5 e x 5 - 2 sen 7 e x 7 + sen 9 e x 9 + C

Resposta

sen 5 e x 5 - 2 sen 7 e x 7 + sen 9 e x 9 + C

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