Um balão de São João, partindo do repouso, é empurrado pelo vento e desloca-se horizontalmente a uma altura H   =   137   m do solo. Devido ao vento, a aceleração do balão é a →   =   ( t / 30 ) i ^   ( m / s 2 ) . Após 60   s do início deste movimento, o balão incendeia-se instantaneamente. A tocha, sobre a qual o efeito do vento é desprezível, cai e acaba atingindo uma casa. A altura da casa é h   =   12   m   e se encontra a uma distância D horizontal, a contar do ponto em que o balão incendiou-se, como mostrado na figura. Pergunta-se: qual é o vetor velocidade da tocha quando ela atinge o telhado? Dê suas respostas na base de vetores ( i ^ , j ^ )

Despreze a resistência do ar.

Passo 1

Vamos por partes...

No início, temos um movimento acelerado tanto na direção x quanto na y. As acelerações valem:

a x = t / 30

a y = - g

Notem que em x temos uma aceleração que varia com o tempo, então não podemos usar as equações do MUV. Para a direção y, temos a aceleração constante, então ok usar as equações do MUV.\

Como a aceleração de x varia com o tempo, vamos usar:

v x = ∫ t 1 t 2 a x   d t = ∫ t 1 t 2 t / 30   d t

Até os primeiros 60 s, a tocha está junto com o balão, após isso eles se separam, mas a tocha não sente mais a aceleração do vento, ou seja, após os 60 s a velocidade em x vai permanecer constante, teremos um movimento uniforme, então vamos descobrir qual vai ser essa velocidade

v x = ∫ 0 60 t / 30   d t

v x = 60   m / s

Show! Então essa velocidade vai permanecer constante enquanto a tocha cai na casa. Então já sabemos a componente x da velocidade nesse instante.

Vamos ver agora na direção y, onde temos um muv, já que a aceleração é constante.

v y = v 0 y + a y t

Vimos que ele parte do repouso e que a y = - g

Então

v y = 0 - g t

E qual é o tempo? É o tempo que ele leva pra cair na casa, ou seja:

y = y 0 + v 0 y t + a y t 2 2

h = H + 0 - g t 2 / 2

ou seja o tempo de queda é:

t q = 2 H - h g

Substituindo:

v y = 0 - g t

v y = 0 - g 2 H - h g

Substituindo os valores, temos que a componente y da velocidade quando a tocha chega na casa é:

v y = - 50

Então o vetor velocidade pode ser escrito como:

v → = 60   i ^ - 50 j ^

Resposta

v → = 60   i ^ - 50 j ^

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