Um cineasta filma a erupção de um vulcão e, num certo instante, ele registra um bloco sendo arremessado fazendo um ângulo θ com a horizontal, partindo da boca do vulcão de uma altura H a partir do solo. Ele acompanha o movimento do bloco e o filma batendo no solo, como na figura, um tempo T após ser lançado. Desprezando a resistência do ar,

  1. Calcule o módulo da velocidade do bloco quando ele foi arremessado da boca do vulcão e começou a ser filmado, V 0 , em função de g ,   H ,   θ e T .

Passo 1

Oi, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Queremos determinar a velocidade inicial do bloco quando ele é arremessado, ou seja, queremos saber o valor de V 0

Essa bolinha leva um tempo T para atingir o chão, a partir de uma altura H então são essas as informações chave que vamos usar!

Relembrando das equações de movimento para a componente y do movimento:

y = y 0 + v 0 y t - g t 2 2 v y = v 0 y - g t v y 2 = v 0 y 2 - 2 g Δ y

E para a componente x do movimento temos um MRU:

x = x 0 + V o x t

E ideia para resolver questões de cinemática é comparar os dados que temos com as equações, beleza?

Isso sem esquecer que a velocidade inicial pode ser decomposta em componente vertical e horizontal, assim:

Vemos que a componente vertical aponta para cima! Então a velocidade inicial em y é positiva! Já a componente horizontal aponta para a direita, e assumimos que esse é o sentido positivo.

tranquilo até aqui?

Vamos lá?

Passo 2

Temos as seguintes informações:

  • Altura inicial do vulcão: H
  • Tempo que o bloco leva para atingir o chão ( y = 0 ): T
  • Gravidade g e massa m

E queremos determinar o módulo da velocidade inicial do bloco V 0 . Então a estratégia é a seguinte: comparar as quantidades conhecidas com as equações de movimento lá do passo 1, e ver qual delas se encaixa no que “temos-queremos”

Beleza?

Como temos duas informações referentes a posição vertical (altura inicial e tempo que o rochedo levou para chegar ao chão) é interessante usar a equação horária do movimento para y :

y = y 0 + V 0 y t - g t 2 2

E ela envolve a velocidade V 0 , então é essa equação mesmo!

Lembrando que a componente vertical da velocidade inicial é positiva (pelo desenho lá do passo anterior) e isso precisa aparecer na equação

O sinal do termo g t 2 / 2 é sempre negativo nesse tipo de movimento (lançamento de projétil) pois a gravidade aponta sempre verticalmente para baixo, ok?

Passo 3

Agora vamos substituir os dados na equação!

A equação é

y = y 0 + V 0 y t - g t 2 2

A posição inicial é a altura da ribanceira y 0 = H , e o bloco leva um tempo T para atingir o chão y = 0 . Além disso, a componente vertical da velocidade em termos do ângulo de lançamento θ é

V 0 y = V 0 s e n θ

Agora é só jogar na equação!

0 = H + V 0 s e n θ . T - g T 2 2

E isolar o valor de V 0 :

V 0 T s e n θ = g T 2 2 - H

V 0 = 1 T s e n θ g T 2 2 - H

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

V 0 = 1 T s e n θ g T 2 2 - H

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