Considere um projétil arremessado da origem no nível do solo ( x 0 = 0 e y 0 = 0 ) com velocidade inicial v → 0 = 4 v 0 i ^ + 3 v 0 j ^ como descrito na figura.

Dados: g = 10   m / s 2

a) Utilizando as equações horárias para x t e y t , mostre que

y x = 3 4 x - g 32 v 0 2 x 2

b) Encontre a distância percorrida no eixo x até o instante onde a partícula retorna ao solo (não substitua a gravidade g ).

Existe uma parede na posição x = 8,0   m , com um buraco localizado a uma altura y = 1,0   m com espaço suficiente para que o projétil o atravesse. Você pode utilizar o resultado dos itens anteriores. Considere que a gravidade é g = 10   m / s 2 .

c) Encontre v 0 para que o projétil atravesse o buraco.

Passo 1

Temos um caso de Lançamento Oblíquo.

Na letra (a), queremos provar que:

y x = 3 4 x - g 32 v 0 2 x 2

Ou seja, queremos relacionar a coordenada da posição y com a coordenada da posição x .

Para isso, vamos escrever o movimento na horizontal x t , depois escrever o movimento na vertical y t .

Feito isso, vamos relacioná-los.

Passo 2

A única aceleração atuando sobre o projétil é uma aceleração na vertical para baixo (gravidade g ), então, ele vai realizar um movimento uniformemente acelerado nessa direção.

Enquanto isso, na horizontal o projétil irá manter sua velocidade constante, realizando um movimento uniforme.

e i x o   x → M U

e i x o   y → M U V

Começando com o eixo x , podemos utilizar a equação de movimento para um movimento uniforme:

S x = S x 0 + v x t

Como o projétil parte da origem, sua posição inicial é zero. Além disso, sua velocidade na horizontal é a componente da velocidade em i ^ :

x t = 0 + 4 v 0 t

x t = 4 v 0 t

Já para o eixo y , vamos utilizar a equação de movimento de um MUV:

S y = S y 0 + v 0 y t + a t 2 2

Novamente a posição inicial S y 0 é zero, já que parte da origem. A velocidade inicial v 0 y é a componente em j ^ do vetor velocidade e a aceleração é a da gravidade, porém com o sinal negativo já que aponta para baixo - g :

y t = 0 + 3 v 0 t - g t 2 2

y t = 3 v 0 t - g t 2 2

Passo 3

Beleza, já temos as equações de movimento nos dois eixos.

Agora, queremos relacionar as duas coordenadas x e y .

Como a expressão que queremos chegar não depende do tempo t , uma boa saída é substituir exatamente esse parâmetro de uma para outra, porque assim ele sumirá da expressão.

Na primeira temos:

x = 4 v 0 t

t = x 4 v 0

Substituindo na segunda:

y = 3 v 0 t - g t 2 2

y = 3 v 0 x 4 v 0 - g x 4 v 0 2 2

y = 3 4 x - g 2 x 2 16 v 0 2

y = 3 4 x - g 32 v 0 2 x 2

Letra (a), check!

Passo 4

Na letra (b), queremos a distância em x até o projétil atingir novamente o chão, ou seja, o alcance na horizontal do projétil.

Bom, nesse tipo de situação, geralmente descobrimos primeiro o tempo em y t que leva até o projétil voltar ao solo e depois descobrimos o quanto ele andou em x t durante esse tempo.

Mas pensa comigo... acabamos de relacionar essas duas coordenadas com a expressão:

y = 3 4 x - g 32 v 0 2 x 2

Então, podemos simplesmente substituir a coordenada y por zero e descobrir em qual posição de x isso acontece.

3 4 x - g 32 v 0 2 x 2 = 0

Passo 5

Achando as raízes da expressão:

3 4 x - g 32 v 0 2 x 2 = 0

x 3 4 - g 32 v 0 2 x = 0

Como temos um produto resultando em zero, um dos termos multiplicados tem que ser nulo.

Então, ou:

x = 0

Ou:

3 4 - g 32 v 0 2 x = 0

g 32 v 0 2 x = 3 4

x = 3 4 32 v 0 2 g

x = 3 8 v 0 2 g

x = 24 v 0 2 g

Substituindo o valor de g , temos:

x = 24 10 v 0 2 = 2,4 v 0 2

Mas por que achamos dois valores para x ?

x = 0 x = 2,4 v 0 2

Isso porque no início do movimento, o projétil também se encontra na altura do solo, porém, é o segundo valor que nos interessa, então, ficamos com:

x = 2,4 v 0 2

Passo 6

Na letra (c), temos um buraco na parede que se encontra em:

Queremos achar a velocidade v 0 para que o projétil passe por esse buraco.

Então, basicamente, precisamos substituir essas coordenadas na expressão que relaciona a coordenada x com a coordenada y :

y = 3 4 x - g 32 v 0 2 x 2

1 = 3 4 8 - g 32 v 0 2 8 2

1 = 6 - 10 32 v 0 2 64

1 - 6 = - 20 v 0 2

5 = 20 v 0 2

v 0 2 = 4

E achamos que v 0 para que o projétil passe pelo buraco deve ser:

v 0 = 2   m / s

OBS: A unidade de v 0 será em " m / s " pois colocamos os valores de posição em " m " e o de aceleração em " m / s 2 " . Ou seja, todas as unidades estão no Sistema Internacional, assim como v 0 estará.

Resposta

(a) Desenvolvimento Passo 2 e Passo 3

(b) x = 2,4 v 0 2

(c) v 0 = 2   m / s

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