Um corpo de massa m = 1   k g é lançado no instante t = 0 com velocidade v → 0 de módulo v → 0 = 1   m / s do topo de uma mesa de altura h = 1   m com relação ao solo, conforme a figura abaixo. A altura máxima que o corpo atinge com relação ao solo é y m e o tempo que leva para o corpo atingir essa altura é t m . Além disso, o tempo total até o corpo atingir o solo é t f . Despreze efeitos oriundos da resistência do ar. Assumindo que θ = π / 4 , marque a resposta correta abaixo:

Dado: g = 10   m / s 2 (capa da prova)

(a) t m = 1 10 2   s ,   y m = 1   m ,   t f = 0.48   s

(b) t m = 1 5 2   s , y m = 1   m , t f = 1 20 2 + 80   s

(c) t m = 1 2   s , y m = 3   m , t f = 80 / 20   s

(d) t m = 0.1   s , y m = 1   m , t f = 2   s

(e) t m = 1 10 2 s , y m = 41 / 40   m , t f = 1 20 2 + 82 s .

Passo 1

A bola é lançada da mesa com sua velocidade v → 0 fazendo uma inclinação de θ = π / 4 com a horizontal. Então, temos um caso de Lançamento Oblíquo.

Costumamos trabalhar, nesses casos, separadamente com a componente horizontal e a componente vertical do movimento da bola.

Mas por que?

Isso porque a única aceleração atuando sobre a bolinha é a aceleração da gravidade (constante) e ela está apenas na vertical. Com isso, o movimento na vertical terá uma aceleração constante, enquanto o movimento na horizontal não terá nenhuma aceleração, logo seus movimentos em cada eixo serão:

e i x o   x → M o v i m e n t o   U n i f o r m e   M U

e i x o   y → M o v i m e n t o   U n i f o r m e m e n t e   V a r i a d o   M U V

Nosso objetivo envolve três coisas:

t m → t e m p o   p a r a   a   a l t u r a   m á x  

y m → a l t u r a   m á x                                                          

t f → t e m p o   p a r a   a t i n g i r   o   s o l o  

Passo 2

Vamos começar achando o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima t m .

Para isso, vamos analisar o movimento na vertical primeiro.

A gente acabou de ver que na vertical, como a aceleração é constante, a bola realiza um M U V , então, podemos usar a equação da velocidade para esse movimento:

v y = v y 0 + a t

Mas por que usar a equação da velocidade em vez da posição?

Simples, é porque não conhecemos exatamente a posição máxima ainda e além disso, sabemos que quando a partícula atinge a altura máxima é porque ela parou momentaneamente, ou seja, sua velocidade nesse instante é nula:

v y m á x = 0

Passo 3

A aceleração nós já sabemos, ela vale g e considerando um referencial positivo para cima, ela será negativa pois aponta para baixo:

v y = v y 0 - g t

Mas quem é a velocidade inicial na vertical v y 0 ?

Vamos decompor o vetor velocidade inicial v → 0 em suas componentes:

Então:

v y 0 = v 0 s e n

Substituindo esse valor de velocidade inicial na equação, temos:

v y = v y 0 - g t

v y = v 0 s e n θ - g t

Pronto!

Passo 4

Agora, basta considerar o instante e que a partícula atinge a altura máxima, tendo velocidade zero, para achar quanto tempo t m ela leva até isso:

v y = v 0 s e n θ - g t

0 = v 0 s e n θ - g t m

t m = v 0 s e n θ g  

Substituindo os valores de v 0 = 1   m / s , θ = π / 4 e g = 10   m / s 2 , temos:

t m = 1 s e n π / 4 10

t m = 2 / 2 10

t m = 2 20   s

Jogando essa raiz quadrada para o denominador (de olho nas respostas), temos:

t m = 2 20 × 2 2

t m = 2 20 2

t m = 1 10 2   s

Por eliminação, já ficamos entre a letra (a) e (e), mas vamos achar todos os parâmetros pedidos para encontrar a resposta.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a altura máxima y m medida a partir do chão.

Ainda no movimento vertical, a equação da posição para um M U V vai ser:

S y = S y 0 + v 0 y t + a t 2 2

A altura inicial é h , enquanto v 0 y e a nós já sabemos do outro item:

S y = h + v 0 s e n θ t + - g t 2 2

S y = h + v 0 s e n θ t - g t 2 2

Passo 6

Como já achamos o tempo que leva até ser atingida a altura máxima, basta substituir isso na expressão:

S y = h + v 0 s e n θ t m - g t m 2 2

Se quiséssemos a expressão algebrica primeiro, ficamos com:

S y = h + v 0 s e n θ v 0 s e n θ g - g 2 v 0 s e n θ g 2

Mas como já calculamos o t m , é mais fácil substituir direto o valor pronto:

S y = h + v 0 s e n θ t m - g t m 2 2

S y = h + v 0 s e n θ 1 10 2 - g 2 1 10 2 2

Substituindo os outros dados ( h , g , v 0 θ ) ficamos com:

S y = 1 + 1 . s e n π 4 1 10 2 - 10 2 1 10 2 2

S y = 1 + 2 2 1 10 2 - 10 2 1 10 2 . 2

S y = 1 + 1 20 - 1 10 4

Fazendo o MMC, temos:

S y = 40 40 + 2 40 - 1 40

S y = 41 40   m

Agora já confirmamos que a resposta é a letra (e), mas vamos achar o t f também, por que não né? hahah

Passo 7

Para encontrar o tempo que a bola leva até o chão, basta a gente considerar a psoição final S y como zero (altura do chão):

0 = h + v 0 s e n θ t f - g t f 2 2

Repara que agora caímos em uma equação do segundo grau, então podemos usar o Bháskara.

Mas antes, vamos substituir os valores numéricos que conhecemos para não ficar tão poluído:

1 + 1 s e n π 4 t f - 10 2 t f 2 = 0

1 + 2 2 t f - 10 2 t f 2 = 0

Colocando na ordem que estamos mais acostumados:

- 10 2 t f 2 + 2 2 t f + 1 = 0

Deu para enxergar melhor agora?

Passo 8

Vamos lá, então:

∆ = b 2 - 4 a c

Sendo a , b e c os coeficientes que multiplicam t f .

∆ = 2 2 2 - 4 - 10 2 1

∆ = 2 4 + 40 2

∆ = 41 2

Que é igual a:

∆ = 82 4

Essa é uma malandragem que a gente faz para a resposta dentro da raiz quadrada bater com a da alternativa.

Substituindo agora na solução de Bháskara:

t f = - b ± ∆ 2 a

t f = - 2 2 ± 82 4 2 - 10 2

Das duas opções ± , apenas essa resulta em um tempo positivo:

t f = - 2 2 - 82 4 - 10

t f = 2 20 + 82 2 10

Finalmente temos que:

t f = 1 20 2 + 82   s

Resposta

Letra (e)

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