Um jogador de futebol chuta a bola de modo que o vetor velocidade inicial, v 0 → , forma um ângulo α = 30 ° com a direção horizontal. Despreze a resistência do ar e considere que a bola não sofre ação de outras forças além do campo gravitacional.

Considere g = 10 m / s 2 , s e n 30 ° = 1 / 2   e cos ⁡ 30 ° = 3 / 2  

a) Suponha que d = 7 3 e h = 2 m . Determine o módulo do vetor velocidade da bola, v 0 , para que a bola atinja a trave superior do gol.

b) Calcule o vetor velocidade em t = 0,5 s .

c) Calcule o instante de tempo em que a bola atinge a altura máxima.

d) Ao atingir a trave, a bola estava subindo ou descendo? Explique.

Passo 1

Bom, pelo modo que ele vai chutar a bolinha, deu pra ver que é questão de lançamento oblíquo, certo?

Então, vamos primeiro montar as equações de movimento nos dois eixos: x e y .

A velocidade inicial pode ser decomposta da seguinte forma:

V x = V 0 cos ⁡ α

V y = V 0 s e n α

Como só vai ter aceleração no eixo y , as equações vão ficar assim:

y = V 0 s e n α t - g t 2 2

x = V 0 cos ⁡ α t

Substituindo os valores temos:

y = V 0 t 2 - 5 t 2

x = V 0 t 2 3

Passo 2

Letra a)

Como ele nos deu os valores de x e y em um mesmo tempo, podemos substituir os valores e vamos ficar com duas variáveis, o tempo e a velocidade.

Como nós queremos a velocidade, é só isolar o tempo.

x = V 0 t 2 3 = d

t = 2 d V 0 3

Substituindo o tempo na equação do eixo y e substituindo o y pela altura dada ficamos com:

h = d 3 - 20 d 2 3 V 0 2

Substituindo os valores, temos:

2 = 7 - 980 V 0 2

Isolando aquele V 0 ali chegamos na velocidade que queríamos!

V 0 = 14   m / s

Passo 3

Letra b)

Como no eixo x não temos aceleração, a velocidade fica constante ao longo de todo o movimento.

V x = v 0 cos ⁡ a = 7 3

Já no eixo y , vamos ter aceleração, então vamos precisar calcular certinho:

V y = V 0 s e n a - g t

V y = 7 - 10.0,5 = 2

V x = 7 3   m / s

V y = 2   m / s

Logo o vetor velocidade vai ser dado por:

V → = 7 3   i ^ + 2 j ^

Passo 4

Letra c)

O instante que a altura é máxima é quando a velocidade é zero. Lembra que a gente viu isso na teoria? Qualquer coisa dá um pulinho lá pra relembrar.

Vamos usar aquela mesma equação da velocidade que usamos na letra anterior.

V y = V 0 s e n a - g t

0 = V 0 s e n a - g t

t = V 0 s e n a g = 0,7   s

Passo 5

Letra d)

Bom, a gente sabe que quando a bola passa da altura máxima, ela começa a descer.

Agora é só descobrir o tempo em que a bola bateu na trave e ver se está antes ou depois do tempo da altura máxima.

v 0 cos ⁡ a t = x = d

t = d V o cos ⁡ a

t = 7 3 14 . 3 2 = 1   s

Resposta

l e t r a   a )   14   m / s

l e t r a   b ) V x = 7 3 ,   V y = 2

l e t r a   c )   0,7 s

l e t r a   d )   1 s

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