4) Uma pessoa que se encontra em uma região plana lança um objeto para cima ao longo de uma direção que faz um ângulo θ com a horizontal e, simultaneamente ao lançamento, corre com aceleração de módulo a ao longo da linha que contêm a projeção horizontal da posição do objeto, no sentido de recuperá-lo de volta ao cair. Para que isso aconteça a relação entre o módulo a da aceleração da pessoa e o da gravidade g deve ser:

a) g cos ⁡ θ

b) g tan ⁡ θ

c) g tan ⁡ θ

d) g cos ⁡ θ tan ⁡ θ

e) g

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Temos aqui um problema de lançamento oblíquo. O que o enunciado está nos contando é que uma pessoa lança um objeto fazendo um ângulo com a horizontal e começa a correr para pegar o objeto mais a frente. Essa corrida da pessoa é um movimento uniformemente acelerado e o enunciado nos pede a relação entre a aceleração da pessoa e a aceleração da gravidade g . Por ser um movimento desse tipo, já sabemos a função horária da pessoa: x p = x p 0 + v 0 p t + a t 2 2

A ideia aqui é pensar nos dois movimentos separados. O movimento do objeto é composto por um movimento com aceleração da gravidade na vertical e um movimento uniforme na horizontal. Então podemos escrever as equações horárias:

y = y 0 + v 0 x t - g t 2 2

x = x 0 + v 0 y t

O que vamos fazer aqui é ver quanto tempo demora para o objeto voltar ao solo e usar esse tempo nas equações da pessoa, beleza?Então vamos por a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar com o movimento do objeto, como ele é lançado com uma velocidade inicial v 0 fazendo um ângulo θ com a horizontal, temos: v 0 x = v 0 cos ⁡ θ

v 0 y = v 0 sen ⁡ θ

Com isso e supondo que o objeto sai da origem ( x 0   =   y 0   =   0 ) , temos as equações para esse movimento dadas por: y = v 0 sen ⁡ θ t - g t 2 2

x = v 0 cos ⁡ θ t

Vamos calcular duas coisas aqui. A primeira delas é o quanto tempo o objeto demora para voltar ao solo. Nesse ponto temos y = 0 , ou seja:

y = v 0 sen ⁡ θ t - g t 2 2 = 0 v 0 s en ⁡ θ t - g t 2 2

E resolvendo para t ≠ 0 (que é quando o objeto começa o movimento) temos:

t = 2 v 0 g sen ⁡ θ

Show!

Passo 3

A outra coisa que vamos calcular é a distância horizontal que esse objeto percorre. Fazemos isso substituindo o tempo total do percurso na equação da componente x : x = v 0 cos ⁡ θ   t x =   v 0 cos ⁡ θ   2 v 0 g sen ⁡ θ

x = 2 v 0 2 g cos ⁡ θ   s e n   θ

Agora podemos falar sobre o movimento da pessoa!

Passo 4

Bom, vamos melhorar primeiro a equação do movimento da pessoa. A pessoa inicia o movimento na origem x p 0 = 0 e parte do repouso v 0 p = 0 . Dessa maneira a função horária da pessoa é dada por:

x p = a t 2 2

Olha, sabemos que a posição da pessoa quando encontra a bolinha é dada por aquele x que obtemos no passo anterior e o tempo é o tempo total que demora esse movimento, então vamos substituir esses valores nessa equação aqui de cima: 2 v 0 2 g cos  ⁡ θ s e n   θ = a 2 2 v 0 g sen ⁡ θ 2

2 v 0 2 g cos  ⁡ θ s e n   θ = a 2 4 v 0 g 2 sen 2 ⁡ θ  

Manipulando um pouco temos:

a = g tan ⁡ θ

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

c) g tan ⁡ θ

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