Um professor de física faz proezas loucas em suas horas vagas. Sua última façanha foi saltar sobre um

rio com sua motocicleta. A rampa de decolagem era inclinada de 53,0o, a largura do rio era de 40,0 m, e a outra margem estava a 15,0 m abaixo do nível da rampa. O rio estava a 100 m abaixo do nível da rampa. Despreze a resistência do ar.

(a) Qual deveria ser sua velocidade para que ele pudesse alcançar a outra margem sem cair no rio?

(b) Caso sua velocidade fosse igual a metade do valor encontrado em (a), onde ele cairia?

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você =) Vamos lá?

Primeiro vamos escolher um sistema de coordenadas. Vou escolher como origem dos espaços a posição inicial da moto. Também vou considerar para cima o sentido positivo do eixo y e para a direita, para x .

O problema pede que se ache a velocidade inicial para que a moto chegue na posição x = 40 m e y = - 15 m . Mas não sabemos nem a velocidade inicial e nem o tempo de voo. Então a ideia é montar duas equações com essas duas variáveis para que possamos eliminar uma delas e determinar v 0 .

Mas quais são essas equações? Ora, são as equações do movimento! Sabemos que na horizontal o movimento é uniforme e na vertical é variado.

Passo 2

Letra (a): As equações de movimento são:

x = x 0 + v 0 x t

y = y 0 + v 0 y t + a y t 2 2

E os dados que temos são:

x 0 = 0 ; y 0 = 0 ; θ = 53 °

v 0 x = v 0 c o s θ

v 0 y = v 0 s e n θ

a y = - g

Então as equações ficam assim:

x = v 0 c o s θ   t y = v 0 s e n θ   t - g t 2 2

Da primeira equação, quando temos x = 40 m podemos ter o tempo em função da velocidade:

t = 40 v 0 c o s θ

E substituindo na segunda equação com y = - 15 , conseguimos eliminar t e ficar só com v 0 , saca só:

- 15 = v 0 s e n θ . 40 v 0 c o s θ - 4,9 40 v 0 c o s θ 2

Agora vamos simplificar um pouco:

- 15 = 40 t g θ - 4,9 40 v 0 c o s θ 2

4,9 40 v 0 c o s θ 2 = 40 t g θ + 15

E resolver para v 0 :

4,9 40 v 0 c o s θ 2 = 68,08

40 v 0 c o s θ = 68,08 4,9

40 v 0 c o s θ = 3,72

v 0 = 40 3,72 c o s ⁡ ( 53 ) = 17,86 m / s

Beleza? Vamos calcular o próximo item?

Passo 3

Letra (b):

Agora o problema pergunta onde a moto cairia se ela tivesse metade da velocidade que encontramos na letra a ) , ou seja, se v 0 = 8,93 m / s .

Mas vamos pensar uma coisa juntos: se a velocidade que encontramos antes é a velocidade mínima necessária para ele atravessar o rio sem cair nele, então com uma velocidade menor ele com certeza irá atingir o rio, certo?

Então o problema se resume a descobrir o alcance horizontal quando a posição final dele vai ser y = - 100 m .

As equações de movimento são as mesmas:

x = v 0 c o s θ   t y = v 0 s e n θ   t - g t 2 2

Mas agora com os seguintes dados:

v 0 x = v 0 2 cos ⁡ 53 = 5,37 m / s

v 0 y = v 0 2 s e n 53 = 7,13 m / s

a y = - 9,8 m / s 2

x = ? ; y = - 100 ; x 0 = y 0 = 0

Como não sabemos o tempo de voo, primeiro vamos usar a segunda equação para determinar o instante que a moto chega ao rio, para depois substituir na primeira e assim determinar x . Vamos lá?

Da segunda equação:

- 100 = 7,13 t - 4,9 t 2

4,9 t 2 - 7,13 t - 100 = 0

Temos uma equação de segundo grau e as raízes são calculadas por bhaskara:

t = - ( - 7,13 ) ± ( - 7,13 ) 2 - 4 4,9 ( - 100 ) 2 ( 4,9 ) = 0,726 ± 4,57

E o que vale é a raiz positiva, então o instante que a moto chega no rio é t = 5,30 s .

Agora substituindo na primeira equação:

x = 5,37 ⋅ 5,30 = 28,46 m

E essa seria a posição que ele cairia!

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

a ) 17,86 m / s

b ) 28,46 m

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