Ache a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superfície no ponto indicado

b .   z = e x ln ⁡ y 2 ,   n o   p o n t o   ( 3,2 , 0 )

Passo 1

Oi, tudo bem? o problema nos deu essa superfície

z = e x ln ⁡ y 2

E pediu para calcularmos a equação do plano tangente e da reta normal

Mas como decifrar tudo isso?

Vamos por partes! Precisamos lembrar de como encontrar primeiro o plano tangente:

f x P 0 x - x 0 + f y P 0 y - y 0 + f z P 0 z - z 0 = 0

Então temos que transformar nossa superfície em algo como

f ( x , y , z )

(dica: é só passar aquele z para o outro lado!)

E sair derivando e aplicando no ponto dado!

Beleza?

E depois? Depois lembrar da reta normal:

r t = x 0 + f x P 0 t y 0 + f y P 0 t z 0 + f z P 0 t

Usamos o mesmo gradiente f x P 0 ,   f y P 0 ,   f z P 0 e o ponto P 0 dado!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar achando nossa f

z = e x ln ⁡ y 2

f = e x ln ⁡ y 2 - z

Beleza?

E como vamos usar o gradiente, já vamos calcular e aplicar no ponto dado!

assim fica bem mais tranquilo né?

f x = e x ln ⁡ y 2 → f x 3,2 , 0 = 0

f y = e x 1 ( y / 2 ) . 1 2 → f y 3,2 , 0 = e 3 2

f z = - 1 → f x 3,2 , 0 = - 1

Assim

f x P 0 ,   f y P 0 ,   f z P 0 = 0 , e 3 2 , - 1

Passo 3

Agora vamos montar a equação do plano tangente

f x P 0 x - x 0 + f y P 0 y - y 0 + f z P 0 z - z 0 = 0

Substituindo temos

0 x - 3 + e 3 2 y - 2 - 1 z - 0 = 0

e 3 y - 2 z - 2 e 3 = 0

Beleza? Bora pra reta normal?

Passo 4

Agora a reta normal

r t = x 0 + f x P 0 t y 0 + f y P 0 t z 0 + f z P 0 t

Substituindo temos

r t = 3 2 + e 3 t - 2 t

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

e 3 y - 2 z - 2 e 3 = 0

r t = 3 2 + e 3 t - 2 t

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