Ache o plano tangente à superfície z = x 2 + y 2 no ponto ( 1,2 ) .

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para calcularmos o nosso plano tangente, vamos usar a fórmula:

z = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0

Show, antes de começarmos a calcular nosso plano, precisamos primeiro das derivadas parciais da nossa função, então vamos calcular:

f x , y = z = x 2 + y 2

f x = 2 x 2 x 2 + y 2

f y = 2 y 2 x 2 + y 2

Show, já temos as nossas derivadas parciais e também temos a fórmula do plano tangente, vamos começar a calcular o valor de cada no ponto pedido.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor de cada componente no ponto pedido:

P = ( 1 , 2 )

z = x 2 + y 2 = 1 + 4 = 5

f x = 2 x 2 x 2 + y 2 = 2 2 5 = 1 5

f y = 2 y 2 x 2 + y 2 = 4 2 5 = 2 5

Jogando tudo na fórmula:

z = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0

z = 5 + 1 5 x - 1 + 2 5 y - 2

z = 5 + x 5 - 1 5 + 2 y 5 - 4 5

z = x + 2 y 5

Resposta

z = x + 2 y 5

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