Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Duas superfícies são tangentes num ponto P , se elas tiverem um plano tangente comum no ponto P . Se as superfícies de equações

x 2 + y 2 - z = 0

a x 3 + b x y + c z 2 = 35

São tangentes no ponto P = 1,2 , 5 , então o valor de a + b + c é

  1. 19
  2. 31
  3. - 12
  4. 13
  5. - 21

Passo 1

Se essas duas superfícies são tangentes em P = ( 1,2 , 5 ) , como o próprio enunciado diz, isso significa que elas tem o mesmo plano tangente nesse ponto.

Vamos achar o plano tangente das duas e depois compará-los, aí poderemos ahcar os valores de a ,   b ,   c .

Pra isso, vamos começar jogando tudo pro lado esquerdo nas equações das superfícies e chamando de F ( x , y , z ) e G ( x , y , z ) .

x 2 + y 2 - z = 0 ⇒ F x , y , z = x 2 + y 2 - z

a x 3 + b x y + c z 2 = 35 ⇒ G x , y , z = a x 3 + b x y + c z 2 - 35

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular os gradientes:

F x , y , z = x 2 + y 2 - z

∇ F x , y , z = ( 2 x , 2 y , - 1 )

E

G x , y , z = a x 3 + b x y + c z 2 - 35

∇ G x , y , z = 3 a x 2 + b y ,   b x ,   2 c z

No ponto P = ( 1,2 , 5 ) :

∇ F 1,2 , 5 = 2 . 1 , 2 . 2 , - 1 = 2,4 , - 1

∇ G 1,2 , 5 = 3 a . 1 2 + 2 b ,   b ,   2 c . 5 = 3 a + 2 b ,   b ,   10 c

Passo 3

Agora vamos comparar esses vetores gradientes (que são os vetores normais ao plano tangente dessas superfícies).

Esses planos tangentes na verdade, são o mesmo plano tangente, de acordo com o enunciado.

Isso quer dizer que os dois vetores gradientes que achamos tem que ser paralelos, ou seja, múltiplos:

∇ F = λ ∇ G  

( 2,4 , - 1 ) = λ 3 a + 2 b ,   b ,   10 c

3 λ a + 2 λ b = 2

λ b = 4

10 λ c = - 1

Daí, podemos tirar que

c = - 1 10 λ

b = 4 λ

3 λ a + 2 λ 4 λ = 2 ⇒ a = - 2 λ

Passo 4

Beleza, mas isso ainda não resolve nosso problema.

Precisamos ainda descobrir o valor desse λ pra poder finalmente saber quem é a ,   b ,   c .

Mas, observa só isso aqui

a x 3 + b x y + c z 2 = 35

E sabemos que o ponto P = ( 1,2 , 5 ) tem que pertencer a essa equação, porque ele é o ponto de tangencia. Assim

a . 1 3 + 2.1 b + c . 5 2 = 35

a + 2 b + 25 c = 35

Substituindo as relações entre a ,   b ,   c e λ que encontramos no passo anterior

- 2 λ + 2 . 4 λ + 25 . - 1 10 λ = 35

- 2 λ + 8 λ - 25 10 λ = 35

6 λ - 25 10 λ = 35  

60 λ - 25 λ 10 λ 2 = 35

350 λ 2 - 35 λ = 0

35 λ 10 λ - 1 = 0

λ = 0

λ = 1 10

Passo 5

Agora sim podemos encontrar os valores de a ,   b ,   c .

λ = 0 não pode ser uma solução pois não podemos ter divisão por zero.

Assim,

c = - 1 10 .   1 10 = - 1

b = 4 1 10 = 40

a = - 2 1 10 = - 20

Então

a + b + c = - 2 0 + 4 0 - 1 = 19

Resposta

L e t r a   a

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