Considere as superfícies do paraboloide S f : f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - z = 3 , o plano S g : g x ,   y ,   z = x + 2 y - 3 z = 6 e o ponto P 0 = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) .

c) Um plano tangente ao paraboloide, que seja paralelo ao plano S g

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente determinar a equação do plano tangente ao paraboloide x 2 + y 2 - z = 3 , sabendo que esse plano é paralelo ao plano x + 2 y - 3 z = 6 .

Então, o que nós precisamos fazer é determinar a equação geral do plano, que depende de um vetor normal a superfície n �� = ( a ,   b ,   c ) e um ponto tangente conhecido, P 0 ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) . A equação tem a forma:

a x + b y + c z = a x 0 + b y 0 + c z 0

Mas nós não conhecemos o vetor normal n → = ( a ,   b ,   c ) . Então, nós vamos determinar as coordenadas desse vetor calculando o gradiente da função no ponto P 0 :

∇ f ( x ,   y ,   z ) = d f d x , d f d y , d f d z

Assim, n → = ∇ f ( P 0 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente para determinar nosso vetor normal. Temos:

∇ f x ,   y ,   z = d d x x 2 + y 2 - z , d d y x 2 + y 2 - z , d d z x 2 + y 2 - z

Calculando essas derivadas:

∇ f x ,   y ,   z = ( 2 x ,   2 y ,   - 1 )

Assim, as coordenadas do vetor gradiente para um ponto P 0 qualquer é:

n → = ∇ f P 0 = ( 2 x 0 ,   2 y 0 ,   - 1 )

E encontramos nosso vetor normal, agora precisamos encontrar nosso ponto de tangência.

Passo 3

Para encontrar nosso ponto, nós precisamos reparar que se esse plano tangente ao paraboloide é paralelo ao plano x + 2 y - 3 z = 6 , então o vetor normal de um é múltiplo do vetor normal do outro. Assim, o vetor gradiente (vetor normal do plano tangente) é múltiplo do vetor ( 1 ,   2 ,   - 3 ) (vetor normal do plano x + 2 y - 3 z = 6 , que também é obtido pelo gradiente de g ).

Como são proporcionais, temos:

2 x 0 ,   2 y 0 ,   - 1 = λ ( 1 ,   2 ,   - 3 )

Beleza, essa expressão só nos diz que um é múltiplo do outro. Desenvolvendo, temos o seguinte sistema:

2 x 0 = λ 2 y 0 = 2 λ - 1 = - 3 λ

Da terceira equação, temos λ = 1 3 . Substituindo na primeira equação:

x 0 = λ 2 = 1 / 3 2 = 1 6

E substituindo na segunda equação:

y 0 = 2 λ 2 = λ = 1 3

Assim, o vetor gradiente é ∇ f x ,   y ,   z = 2 ∙ 1 6 ,   2 ∙ 1 3 ,   - 1 = 1 3 , 2 3 ,   - 1

Passo 4

Já temos duas coordenadas do nosso ponto de tangência, x 0 e y 0 , só falta a gente descobrir a terceira. Para isso, vamos substituir os valores que encontramos na equação do paraboloide, pois z = f ( x ,   y ) :

z = x 2 + y 2 - 3

z = 1 6 2 + 1 3 2 - 3 = - 103 36

E assim, o ponto de tangência é 1 6 , 1 3 ,   - 103 36 .

Passo 5

Beleza, agora que temos o vetor diretor, que é o vetor gradiente, e temos o ponto de tangência, basta colocar na fórmula do plano:

a x + b y + c z = a x 0 + b y 0 + c z 0

Usando n → = a ,   b ,   c = 1 3 , 2 3 ,   - 1 e x 0 ,   y 0 ,   z 0 = 1 6 , 1 3 ,   - 103 36 :

1 3 x + 2 3 y - z = 1 3 ∙ 1 6 + 2 3 ∙ 1 3 + - 1 ∙ - 103 36

1 3 x + 2 3 y - z = 1 18 + 2 9 + 103 36

Somando as componentes do lado direito:

1 3 x + 2 3 y - z = 113 36

Chegamos na equação no plano, mas podemos simplificar multiplicando a equação por 3 dos dois lados:

x + y - 3 z = 113 12

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x + y - 3 z = 113 12

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