Encontre o ponto onde o plano tangente à superfície de equação z = e x - y no ponto ( 1,1 , 1 ) corta o eixo z

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema fala em encontrar um ponto que corta o eixo z, mas em cima de quem?

Em cima do plano que é tangente à uma superfície em ( 1,1 , 1 ) . Então na verdade o que o problema quer é saber onde temos ( 0,0 , z ) no plano tangente. Mas você lembra como que encontra a equação do plano tangente a uma superfície?

seja uma superfície

F x , y , z = f x , y - z

No nosso caso f x , y = e x - y

E um vetor qualquer que contenha o ponto dado

n → = ( x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 )

Aí o gradiente aplicado nesse ponto e o vetor precisam ser ortogonais:

∇ → F ⋅ n → = 0

E é isso! Fazendo esse produto escalar encontramos a equação do plano tangente!

Vamos começar? Mas calma, vou fazer com você!

Passo 2

Nossa primeira missão é encontrar a equação do plano tangente à superfície

z = e x - y

Vamos começar fazendo o gradiente de F

F x , y , z = f x , y - z

F x , y , z = e x - y - z

E aplicando o gradiente

∇ → F = ( e x - y , - e x - y ,   - 1 )

E por fim vamos aplicar no ponto dado ( 1,1 , 1 ) :

∇ → F = e 0 , - e 0 , - 1 = ( 1 , - 1 , - 1 )

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos montar aquele n → . Esse é um vetor qualquer que contém o ponto dado ( 1,1 , 1 )

n → = ( x - 1 ,   y - 1 ,   z - 1 )

Beleza? Agora vamos montar o plano tangente!

Passo 4

Para encontrar o plano tangente, precisamos o gradiente (aplicado no ponto dado) da superfície e do vetor n → :

∇ → F = ( 1 , - 1 , - 1 )

n → = ( x - 1 ,   y - 1 ,   z - 1 )

E agora para a equação do plano, precisamos fazer o produto escalar entre eles e igualar a zero:

∇ → F ⋅ n → = 1 , - 1 , - 1 ⋅ ( x - 1 ,   y - 1 ,   z - 1 )

= x - 1 - y + 1 - z + 1 = 0

x - y - z = - 1

Esse é o plano tangente à superfície dada no ponto ( 1,1 , 1 )

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Já sabemos ONDE procurar o ponto, nesse plano aqui

x - y - z = - 1

Mas agora, onde esse plano corta? Corta o eixo z! isso significa que x = 0 = y , então:

0 - 0 - z = - 1

z = 1

Assim o ponto onde esse plano corta o eixo z é ( 0,0 , 1 )

E é isso!

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( 0,0 , 1 )

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