Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 11

O gráfico da função

z = ln ⁡ x - 2 y

Possui um plano tangente em ( 3,1 , 0 ) ?

a SIM e a equação deste plano é 3 x + y = 0

b NÃO, uma vez que z = f ( x , y ) não é uma função contínua

c SIM e a equação deste plano é x - 2 y = 0

d SIM e a equação deste plano é x - 2 y - z = 1

e NÃO, uma vez que as derivadas parciais de f ( x , y ) não são contínuas

Passo 1

Vamos usar nosso passo a passo de plano tangente.

Primeiro a gente joga todas as variáveis para um lado só e chama de F ( x , y , z ) :

z = ln ⁡ x - 2 y

F x , y , z = z - ln ⁡ x - 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Depois a gente calcula o gradiente de F :

∇ F x , y , z = - 1 x - 2 y ,   2 x - 2 y , 1

E substitui no ponto ( 3,1 , 0 ) :

∇ F 3,1 , 0 = - 1 3 - 2.1 ,   2 3 - 2.1 , 1

∇ F 3,1 , 0 = - 1 ,   2,1

E esse é o vetor normal ao nosso plano tangente:

n = ( - 1,21 )

Passo 3

Agora a gente substitui tudo na equação do plano tangente:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

x - 3 , y - 1 , z - 0 ⋅ ( - 1,21 ) = 0

- x - 3 + 2 y - 1 + z = 0

- x + 2 y + z = - 1

Ihhhhhhhh, mas nas opções não tem esse plano, E AGORAAAAAA?

Calma, jovem Padawan!!

Tá vendo ali o plano da letra d ? Reparou que ele tá com os sinais trocados em relação ao nosso plano?

Isso é porque a questão usou um vetor normal diferente do nosso, porém, múltiplo dele, ou seja, a questão usou um vetor normal multiplicado por -1 em relação ao que a gente usou.

Mas, a gente já sabe, isso não tem problema, pois multiplicar o vetor por um escalar só altera o seu módulo, mas a sua direção se mantém e é isso que nos importa.

Assim, o plano da letra d está tão certo quanto o que a gente achou. Podemos marcar ele sem medo!

Resposta

Letra d

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