Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

UFRJ, P2 2016.1, questão 4

Determinar a equação do plano tangente à superfície 3 x y z - z 3 = a 3 ,   a > 0 , no ponto onde x = 0 e y = a .

a x + y + a = 0

b x + y + x + a = 0

c x + z - a = 0

d x + y - a = 0

e x + z + a = 0

Passo 1

Precisamos seguir o nosso passo-a-passo, lembra dele?

  1. Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície
  2. Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito
  3. Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação
  4. Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z
  5. Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0
  6. O vetor normal será n → = ∇ F P 0
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já temos f x , y = z , então podemos jogar tudo pro lado esquerdo e zerar o direito:

3 x y z - z 3 - a 3 = 0

Passo 3

Vamos encontrar logo qual é a coordenada z do ponto dado no enunciado? É só a gente substituí-lo na expressão aqui de cima:

3 x y z - z 3 - a 3 = 0

No ponto P = ( 0 , a ) ...

3 0 . a . z - z 3 - a 3 = 0

- z 3 = a 3

z = - a

Ok, então nosso ponto é

( 0 , a , - a )

Passo 4

Ok, agora temos que

F x , y , z = 3 x y z - z 3 - a 3

Passo 5

Estamos prontos para calcular o vetor gradiente! Lembra da expressão dele?

∇ F x , y , z = F x , F y , F z

Como F x , y , z = 3 x y z - z 3 - a 3 ,

F x x , y , z = 3 y z

F y x , y , z = 3 x z

F z x , y , z = 3 x y - 3 z ²

Assim, nosso vetor gradiente, no ponto dado, P = ( 0 , a , - a ) , fica:

∇ F 0 , a , - a = 3 a - a , 3 0 - a , 3 0 a - 3 ( - a ) ²

∇ F 0 , a , - a = - 3 a 2 , 0 , - 3 a ²

Passo 6

Agora que temos o gradiente, temos o vetor normal ao plano tangente! Portanto, basta jogarmos na equação do plano e ele aparecerá! Lembra da equação do plano?

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅ n →

Colocando P = ( 0 , a , - a ) e n → = ∇ F 0 , a , - a = - 3 a 2 , 0 , - 3 a ² teremos nosso plano:

x , y , z ⋅ - 3 a 2 , 0 , - 3 a 2 = ( 0 , a , - a ) ⋅ - 3 a 2 , 0 , - 3 a ²

- 3 a 2 x - 3 a 2 z = 3 a ³

- x - z = a

x + z + a = 0

Resposta

Letra e

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