Questão 5 Determine o plano tangente à superfície x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 , com x > 0 , y > 0 e z > 0 , que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo.

Dica: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano a x + b y + c z = d no primeiro octante é dado por V = d 3 6 a b c .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter o plano tangente a F : x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 no primeiro octante de modo que o volume do tetraedro formado com os planos coordenados seja o menor possível.

E aí como fazemos isso? 🤔

O método dos multiplicadores de Lagrange é uma técnica utilizada para encontrar máximos ou mínimos de uma função sujeita a uma ou mais restrições, também conhecido como problemas de otimização com restrições.

Para utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange, é necessário definir uma função objetivo (a função que se deseja otimizar) e as restrições que limitam a sua otimização, o caso as derivadas parciais da equação do plano tangente e do volume do tetraedro. Em seguida, é necessário montar um sistema de equações que equilibre as restrições com a função objetivo, usando os multiplicadores de Lagrange como variáveis adicionais. A solução deste sistema fornece os pontos críticos da função que satisfazem todas as restrições, ou seja

∇ F = λ ∇ V x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 2

Para encontrar a equação do plano tangente, temos que obter o vetor gradiente da equação F : x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 e fazer com que o produto escalar com o vetor v = x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 é igual a 0 . ( x 0 , y 0 e z 0 são as coordenadas do ponto da tangencia)

Obtendo o gradiente da equação, temos

∇ F = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z

∇ F = ∂ x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 ∂ x , ∂ x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 ∂ y , ∂ x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 ∂ z

Pelo método de derivação polinomial...

∇ F = x 2 , 2 y 9 , z 8

Aplicando o ponto x 0 , y 0 , z 0 ...

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = x 0 2 , 2 y 0 9 , z 0 8

Vamos obter a equação do plano tangente fazendo o produto interno de ∇ F x 0 , y 0 , z 0 com v

x 0 2 , 2 y 0 9 , z 0 8 · x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

x 0 2 x - x 0 + 2 y 0 9 y - y 0 + z 0 8 z - z 0 = 0

x 0 2 x + 2 y 0 9 y + z 0 8 z = x 0 2 + 2 y 0 9 + z 0 8

Perceba que x 0 2 + 2 y 0 9 + z 0 8 é como se multiplicássemos a equação F por dois, logo, se F = 1 , 2 F = 2

x 0 2 x + 2 y 0 9 y + z 0 8 z = 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Foi dito que o volume do tetraedro é dado por V = d 3 6 a b c se a equação do plano for a x + b y + c z = d .

Dessa forma, vamos reescrever a equação V usando como base x 0 2 x + 2 y 0 9 y + z 0 8 z = 2

V = 2 3 6 x 0 2 2 y 0 9 z 0 8

V = 96 x 0 y 0 z 0

E finalmente aplicando os multiplicadores de Lagrange, vamos obter que

∂ F x 0 , y 0 , z 0 ∂ x = λ ∂ V x 0 , y 0 , z 0 ∂ x 0 ∂ F x 0 , y 0 , z 0 ∂ y = λ ∂ V x 0 , y 0 , z 0 ∂ y 0 ∂ F x 0 , y 0 , z 0 ∂ z = λ ∂ V x 0 , y 0 , z 0 ∂ z 0 x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

Está acompanhando? 😁

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de F , temos

∂ F x 0 , y 0 , z 0 ∂ x = x 0 2

∂ F x 0 , y 0 , z 0 ∂ y = 2 y 0 9

∂ F x 0 , y 0 , z 0 ∂ z = z 0 8

Agora fazendo o mesmo para V

∂ V x 0 , y 0 , z 0 ∂ x 0 = - 96 x 0 2 y 0 z 0

∂ V x 0 , y 0 , z 0 ∂ y 0 = - 96 x 0 y 0 2 z 0

∂ V x 0 , y 0 , z 0 ∂ z 0 = - 96 x 0 y 0 z 0 2

Substituindo no sistema...

x 0 2 = λ - 96 x 0 2 y 0 z 0 2 y 0 9 = λ - 96 x 0 y 0 2 z 0 z 0 8 = λ - 96 x 0 y 0 z 0 2 x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

Isolando λ em um lado das equações, vamos obter que

λ = - 2 96 x 0 3 y 0 z 0 λ = - 9 2 96 x 0 y 0 3 z 0 λ = - 8 96 x 0 y 0 z 0 3 x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

Bacana, não é? 😊

Passo 5

Agora vamos igualar as equações de duas em duas

- 2 96 x 0 3 y 0 z 0 = - 9 2 96 x 0 y 0 3 z 0

Simplificando...

4 1 x 0 3 y 0 z 0 = 9 1 x 0 y 0 3 z 0

4 x 0 y 0 3 z 0 = 9 x 0 3 y 0 z 0

4 x 0 y 0 3 = 9 x 0 3 y 0

y 0 2 = 9 4 x 0 2

Agora a primeira com a terceira...

- 2 96 x 0 3 y 0 z 0 = - 8 96 x 0 y 0 z 0 3

Simplificando

2 1 x 0 3 y 0 z 0 = 8 1 x 0 y 0 z 0 3

2 x 0 y 0 z 0 3 = 8 x 0 3 y 0 z 0

z 0 2 = 4 x 0 2

Trabalhoso, não é? 👀

Passo 6

Substituindo essas relações na última equação, temos

x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 → x 0 2 4 + 9 4 x 0 2 9 + 4 x 0 2 16 = 1

x 0 2 4 + x 0 2 4 + x 0 2 4 = 1

x 0 2 = 4 3 → x 0 = 2 3

E, portanto.

y 0 2 = 9 4 x 0 2 → y 0 = 3 3

z 0 2 = 4 x 0 2 → z 0 = 4 3

Por fim, substituindo na equação do plano tangente que calculamos no passo 2, temos

x 0 2 x + 2 y 0 9 y + z 0 8 z = 2

2 3 2 x + 2 3 3 9 y + 4 3 8 z = 2

1 3 x + 2 3 3 y + 2 3 z = 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

1 3 x + 2 3 3 y + 2 3 z = 2

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