Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f x , y = 3 x 2 y - x y em 1 , - 1 ,   f 1 , - 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! Temos uma função de duas variáveis

f x , y = 3 x 2 y - x y

E o problema pediu para encontrarmos as equações do plano tangente e da reta normal à essa função no ponto 1 , - 1 ,   f 1 , - 1

Bom, para encontrar esses dois itens precisamos relembrar como encontramos primeiro a equação do plano tangente

  1. Precisamos de um ponto, no nosso caso P 1 , - 1 ,   f 1 , - 1
  2. Precisamos de um vetor que seja normal ao plano n → : esse vetor é o gradiente (aplicado no ponto dado) - ∇ → F P = F x P ,   F y P ,   F z P - e a função é F = f x , y - z
  3. E aí é só jogar esses valores na equação do plano

F x P x - x p + F y P y - y p + F z P z - z p = 0

Beleza? E a reta normal? Bom, para calcular a reta normal vamos reciclar vários itens do plano tangente! Isso porque para encontrar a reta normal ao gráfico precisamos do ponto e de um vetor normal à superfície e é o nosso querido gradiente! Então vamos aos passos que vamos seguir:

  1. Ponto que pertença à reta: no caso nosso conhecido: P 1 , - 1 ,   f 1 , - 1
  2. Vetor normal: gradiente de F aplicado em P (já calculamos no item 2 dos passos do plano tangente)
  3. Jogar tudo isso na equação da reta normal:

r → t = P + ∇ → F P . t

E é isso! Vamos colocar começar?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Começando pela equação do plano tangente! Precisamos do ponto e do vetor gradiente aplicado nesse ponto. Então vamos lá! O ponto é:

P 1 , - 1 ,   f 1 , - 1

Mas quem é a coordenada z ? É a função f ( x , y ) aplicada em ( 1 , - 1 ) ! A função é

f x , y = 3 x 2 y - x y

Aplicado no ponto ( 1 , - 1 ) temos:

z = f 1 , - 1 = 3 1 2 . - 1 - 1 . - 1 = - 3 + 1 = - 2

E assim o ponto P é

P ( 1 , - 1 , - 2 )

Beleza até aqui?

Agora vamos ao gradiente!

Passo 3

Agora vamos calcular o gradiente da função F :

F = f x , y - z = 3 x 2 y - x y - z

∇ → F = ∂ F ∂ x i ^ + ∂ F ∂ y j ^ + ∂ F ∂ z k ^ = ( 6 x y - y , 3 x 2 - x ,   - 1 )  

E agora aplicar no ponto P ( 1 , - 1 , - 2 ) :

∇ → F P = ( - 5,2 , - 1 )

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora vamos jogar todas essas informações na equação do plano tangente! Agora vamos lembrar como é essa equação

F x P x - x p + F y P y - y p + F z P z - z p = 0

E resgatando os valores calculados temos:

∇ → F P = F x P ,   F y P ,   F z P = ( - 5,2 , - 1 )

E também:

P = x p , y p , z p = ( 1 , - 1 , - 2 )

Agora é só substituir:

- 5 x - 1 + 2 y - - 1 - 1 z - - 2 = 0

- 5 x + 5 + 2 y + 2 - z - 2 = 0

5 x - 2 y + z - 5 = 0

E é isso! Agora vamos calcular a equação da reta normal?

Passo 5

Agora vamos relembrar da equação da reta normal:

r → t = P + ∇ → F P . t

P e o gradiente vamos reciclar do item anterior:

P = ( 1 , - 1 , - 2 )

∇ → F P = ( - 5,2 , - 1 )

#partiu substituir?

r → t = 1 , - 1 , - 2 + ( - 5,2 , - 1 ) t

E temos as três equações de reta:

r → t = 1 - 5 t - 1 + 2 t - 2 - t

E é isso!

Ufa! Terminamos!

Até próxima!

Resposta

5 x - 2 y + z - 5 = 0  

r → t = 1 - 5 t - 1 + 2 t - 2 - t

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