Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Qual a equação do plano tangente a superfície de nível de ψ x , y , z = x 2 + 4 x y + y 4 + z que passa pelo ponto ( 2,1 , 3 ) ?

  1. x + 4 y + z = 9
  2. 3 x + y + 2 z = 32
  3. 8 x + 12 y + z = 31  
  4. 2 x - 2 + y - 1 + 3 z - 3 = 0
  5. 2 z + y + 3 z = 16

Passo 1

Bora seguir o passo a passo de plano tangente.

Jogando tudo para o lado esquerdo e chamando de F ( x , y , z ) , temos

F x , y , z = x 2 + 4 x y + y 4 + z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O gradiente de F é

∇ F x , y , z = ( 2 x + 4 y ,   4 y 3 + 4 x ,   1 )

Substituindo no ponto ( 2,1 , 3 ) :

∇ F 2,1 , 3 = 4 + 4 ,   4 + 8 ,   1 = ( 8,12,1 )

E esse é o vetor normal ao plano tangente.

Passo 3

Agora é só substituir na equação do plano:

x , y , z ∙ ∇ F = x 0 , y 0 , z 0 ∙ ∇ F

x , y , z ∙ ( 8,12,1 ) = 2,1 , 3 ∙ ( 8,12,1 )

8 x + 12 y + z = 16 + 12 + 3

8 x + 12 y + z = 31

Resposta

L e t r a   c  

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