Questão 3 – Considere a função

f x , y = 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 , s e   x , y ≠ 0,0 0 , s e   x , y = 0,0

a) Calcule as derivadas parciais nos pontos ( x , y )   ≠ 0,0 .

b) Calcule as derivadas parciais em 0,0 .

c) Calcule a equação h x , y do plano tangente ao gráfico de f no ponto 0,0 .

d) Calcule o limite

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y - h x , y x 2 + y 2

E conclua se f é ou não diferenciável em 0,0

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos várias coisas pra fazer e pra isso, temos uma função definida por partes em que para x , y ≠ 0,0 a função se comporta como 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 já se x , y = 0,0 a função é constante e igual a 0 .

Primeiro temos que obter as derivadas parciais quando x , y ≠ 0,0 .

Depois temos que fazer o mesmo para quando x , y = 0,0 .

Logo depois temos que obter a equação h x , y dada pelo plano tangente a f em 0,0 .

E por último, temos que calcular o limite de f x , y - h x , y x 2 + y 2 para quando x , y tende a 0,0 e dizer se f é ou não diferenciavel.

Muitas coisas, não é? 👀

Bora começar logo!

Passo 2

No item a) do problema, temos que obter as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y para quando x , y for diferente de 0,0 .

Ou seja, temos que obter as derivadas parciais de 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 .

Primeiro com relação a x

∂ f ∂ x = ∂ 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 ∂ x

Aplicando a regra do quociente dada por

a b ' = a ' · b - a · b ' b 2

∂ f ∂ x = ∂ 2 x 3 y 2 ∂ x · x 2 + 2 y 2 - 2 x 3 y 2 · ∂ x 2 + 2 y 2 ∂ x x 2 + 2 y 2 2

Pelo método de derivação polinomial, vamos obter as derivadas de 2 x 3 y 2 e x 2 + 2 y 2

∂ 2 x 3 y 2 ∂ x = 3 · 2 x 3 - 1 y 2 = 6 x 2 y 2

∂ x 2 + 2 y 2 ∂ x = 2 · x 2 - 1 + 0 2 y 2 = 2 x

Substituindo em ∂ f ∂ x

∂ f ∂ x = 6 x 2 y 2 · x 2 + 2 y 2 - 2 x 3 y 2 · 2 x x 2 + 2 y 2 2

Simplificando, temos

∂ f ∂ x = 6 x 4 y 2 + 12 x 2 y 4 - 4 x 4 y 2 x 2 + 2 y 2 2

Por fim, vamos obter

∂ f ∂ x = 2 x 4 y 2 + 12 x 2 y 4 x 2 + 2 y 2 2 ,     ∀   ( x , y ) ≠ 0,0

Obtemos a primeira derivada parcial!

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Agora fazemos o mesmo com relação a y

∂ f ∂ y = ∂ 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 ∂ y

Aplicando a regra do quociente novamente, temos

∂ f ∂ y = ∂ 2 x 3 y 2 ∂ y · x 2 + 2 y 2 - 2 x 3 y 2 · ∂ x 2 + 2 y 2 ∂ y x 2 + 2 y 2 2

A derivada de 2 x 3 y 2 e de x 2 + 2 y 2 são obtidas pelo método de derivação polinomial também

∂ 2 x 3 y 2 ∂ y = 2 x 3 2 · y 2 - 1 = 4 x 3 y

∂ x 2 + 2 y 2 ∂ y = 0 x 2 + 2 · 2 y 2 - 1 = 4 y

Substituindo em ∂ f ∂ y

∂ f ∂ y = 4 x 3 y · x 2 + 2 y 2 - 2 x 3 y 2 · 4 y x 2 + 2 y 2 2

Simplificando o resultado

∂ f ∂ y = 4 x 5 y + 8 x 3 y 3 - 8 x 3 y 3 x 2 + 2 y 2 2

Resultando em

∂ f ∂ y = 4 x 5 y x 2 + 2 y 2 2 ,     ∀   ( x , y ) ≠ 0,0

Tranquilo até aqui? 🤩

Passo 4

Agora para o item b) temos que fazer o mesmo, mas para quando a função f está em x , y = 0,0 .

Ou seja, para quando a função é constante e igual a 0 .

Como sabemos, a derivada de uma constante é igual a 0 e como nesse ponto a função é constante, então

∂ f 0,0 ∂ x = ∂ f 0,0 ∂ y = 0

Esse item foi bem curtinho, não é? 😁

Passo 5

Para o item c) temos que obter o plano tangente à função no ponto 0,0

No caso a formula do plano tangente é dado por

h x , y = f 0,0 + f x 0,0 x - 0 + f y 0,0 y - 0

temos todas as informações necessárias para obter esse plano, não é?

f 0,0 é dado no enunciado como 0 , f x 0,0 e f y 0,0 são as derivadas parciais de f com relação a x e y , respectivamente, quando x , y é igual a 0,0 onde no caso, calculamos no passo anterior como 0 para ambos.

Substituindo os resultados

h x , y = 0 + 0 x - 0 + 0 y - 0

h x , y = 0

Portanto, encontramos que o plano tangente a f no ponto 0,0 é igual a 0 , ou seja, é paralelo ao plano x y !

Interessante, não é? 😎

Passo 6

Por último, vamos calcular o limite de f x , y - h x , y x 2 + y 2 para x , y tendendo a 0,0

No caso, para f x , y vamos usar 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 pois queremos saber o valor que f tende quando nos aproximamos de 0,0 e se a tangencia da curva nas redondezas condiz com o plano tangente que obtemos para f 0,0 .

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y - h x , y x 2 + y 2

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 - 0 x 2 + y 2

Simplificando a fração

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 x 2 + y 2

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 x 2 + y 2

Podemos converter as coordenadas desse limite para coordenadas polares, o que acha? 🤔

Dessa forma, substituímos x por r c o s θ e y por r s e n θ e no lugar de x , y tendendo a 0,0 escrevemos r tendendo a 0

lim r → 0 ⁡ 2 r c o s θ 3 r s e n θ 2 r c o s θ 2 + 2 r s e n θ 2 r c o s θ 2 + r s e n θ 2

Simplificando o resultado

lim r → 0 ⁡ 2 r 3 c o s 3 θ r 2 s e n 2 θ r 2 c o s 2 θ + 2 r 2 s e n 2 θ r 2 c o s 2 θ + r 2 s e n 2 θ

lim r → 0 ⁡ 2 r 3 c o s 3 θ r 2 s e n 2 θ r 2 c o s 2 θ + 2 s e n 2 θ r 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ

Como c o s 2 θ + s e n 2 θ é igual a 1 então

lim r → 0 ⁡ 2 r 3 c o s 3 θ r 2 s e n 2 θ r 2 c o s 2 θ + 2 s e n 2 θ r 2

Essa parte é grandinha, não é? 👀

Passo 7

Continuando o problema, podemos simplificar r 2 cortando a raiz com o expoente 2 .

lim r → 0 ⁡ 2 r 3 c o s 3 θ r 2 s e n 2 θ r 2 c o s 2 θ + 2 s e n 2 θ r

lim r → 0 ⁡ 2 r 3 c o s 3 θ r 2 s e n 2 θ r 3 c o s 2 θ + 2 s e n 2 θ

Perceba que temos r 3 multiplicando o numerador e o denominador, então podemos cortar os dois

lim r → 0 ⁡ 2 c o s 3 θ r 2 s e n 2 θ c o s 2 θ + 2 s e n 2 θ

Colocando r 2 que sobrou no denominador em evidência

lim r → 0 ⁡ r 2 2 c o s 3 θ s e n 2 θ c o s 2 θ + 2 s e n 2 θ

Perceba que 2 c o s 3 θ s e n 2 θ c o s 2 θ + 2 s e n 2 θ é limitado já que é composto apenas por funções periódicas que variam de 1 a - 1 e r 2 tende a 0 , então podemos dizer que o limite dessa fração é 0 .

lim r → 0 ⁡ r 2 2 c o s 3 θ s e n 2 θ c o s 2 θ + 2 s e n 2 θ = 0

Ou seja, o limite que queríamos obter lá no início é igual a

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y - h x , y x 2 + y 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 x 2 + y 2

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 = 0

Dessa forma, vemos que a função f é sim diferenciavel em x , y = 0,0 !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a) ∂ f ∂ x = 2 x 4 y 2 + 12 x 2 y 4 x 2 + 2 y 2 2 ,     ∀   ( x , y ) ≠ 0,0 , ∂ f ∂ y = 4 x 5 y x 2 + 2 y 2 2 ,     ∀   ( x , y ) ≠ 0,0

b) ∂ f 0,0 ∂ x = ∂ f 0,0 ∂ y = 0

c) h x , y = 0

d) lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 3 y 2 x 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 = 0 , é diferenciavel.

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