Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Plano Tangente e Reta Normal

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 1,2 ) . Sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto ( 1,2 ) é dado por x + 2 y + 3 z = 11 . Quanto valem f x ( 1,2 ) , f y ( 1,2 ) e f ( 1,2 ) , respectivamente?

(a) - 1 3 ,   - 2 3 e 2

(b) 1 , 2 e 11

(c) 1 ,   2   e 2

(d) 1 3 , 2 3 e 2

(e) - 1 3 ,   - 2 3   e 11

Passo 1

Ele deu a equação do plano tangente ao gráfico da f no ponto ( 1 ,   2 ) . Pela equação do plano tangente, e chamando o ponto 1 , 2 , f 1 , 2 de P 0 vamos ter:

x , y , z ⋅ ∇ f P 0 = P 0 ⋅ ∇ f ( P 0 )

Ué mas a f depende de só 2 variáveis, então como vamos ter um f z ( P 0 ) ? Bom, vamos simplesmente substituir o f ( x , y ) por z na equação da superfície, só isso!

A gente tinha:

f x , y = a l g u m a   c o i s a

e agora a gente tem:

z = a l g u m a   c o i s a

Mas pra achar o plano tangente a uma superfície primeiro a gente pega a equação da superfície e joga tudo pra um lado, deixando 0 do outro, certo?

Então vamos ter:

a l g u m a   c o i s a - z = 0

E esse lado esquerdo da equação vai ser a “nova” f , função de 3 variáveis!

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Passo 2

Temos “ - z ” na expressão da função, então f z x , y , z = - 1 .

E a equação do plano é x + 2 y + 3 z = 11 , logo:

x , y , z ⋅ f x P 0 ,   f y P 0 , - 1 = P 0 ⋅ f x P 0 ,   f y P 0 , - 1 ⇔     x + 2 y + 3 z = 11

As duas expressões são equivalentes! E como P 0 = 1,2 , f 1,2 :

x . f x P 0 + y . f y P 0 - z = 1 . f x P 0 + 2 . f y P 0 - f ( 1 , 2 )

⇔     x + 2 y + 3 z = 11

Repare que na 1ª equação temos “ - z ”, enquanto na 2ª temos “ + 3 z ”. Então vamos multiplicar a 1ª por -3 pras duas ficarem iguais, beleza? Assim:

- 3 f x P 0 . x - 3 f y P 0 . y + 3 z = - 3 f x P 0 - 6 f y P 0 + 3 f ( 1 , 2 )

⇔     x + 2 y + 3 z = 11

Show, agora as duas equações estão iguais, então os termos multiplicando x , y e z tem que ser os mesmos! Logo:

- 3 f x P 0 = 1   ⇒   f x P 0 = - 1 3

- 3 f y P 0 = 2   ⇒   f y P 0 = - 2 3

Passo 3

E, pros lados direitos das equações baterem, vamos ter:

- 3 f x P 0 - 6 f y P 0 + 3 f 1 , 2 = 1 1

- 3 - 1 3 - 6 - 2 3 + 3 f 1 , 2 = 1 1

1 + 4 + 3 f 1 , 2 = 11

3 f 1,2 = 6

⇒ f 1 , 2 = 2

Resposta

Alternativa (a)

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